Sayfa yarı korumalı

Radyan

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Gezintiye atla Aramaya atla

Radyan
Ölçü sistemiSI türetilmiş birim
BirimiAçı
Sembolrad,  c  veya r
BirimlerdeYarıçapa eşit bir yay uzunluğu ile boyutsuz , yani 1 m/m
Dönüşümler
1 rad giriş ...... eşittir ...
   miliradyalı   1000 mrad
   döner   1/2 π dönüş
   derece   180/π ≈ 57,296 °
   Gradyanlar   200/π≈ 63.662 gr
O dairenin yarıçapı ile aynı uzunluğa sahip bir çember yayı , 1 radyan açısının altındadır. Çevre, 2 π radyanlık bir açıya karşılık gelir .

Radyan sembolü ile gösterilen , [1] bir SI birim ölçmek için açıları ve birçok alanda kullanılan açısal standart ölçü birimidir matematik . Birim eskiden bir SI ek birimiydi (bu kategori 1995'te kaldırılmadan önce) ve radyan artık bir SI'dan türetilmiş birimdir . [2] Radyan, SI'da boyutsuz bir değer olarak tanımlanır ve buna göre sembolü, özellikle matematiksel yazımda genellikle ihmal edilir.

Tanım

Bir radyan açı olarak tanımlanır uzandığı bir yay karşılar bir dairenin merkezine dairenin yarıçapına eşit uzunlukta. [3] Daha genel olarak, alçak bir açının radyan cinsinden büyüklüğü , yay uzunluğunun dairenin yarıçapına oranına eşittir; yani, θ = s / r , burada θ radyan cinsinden altsız açı, s yay uzunluğu ve r yarıçaptır. Tersine, kesilen yayın uzunluğu, yarıçapın radyan cinsinden açının büyüklüğü ile çarpımına eşittir; yani s = .

İki uzunluğun oranı olarak, radyan saf bir sayıdır . Aslında radyan 1 olarak tanımlanır. [4] Sonuç olarak, matematiksel yazımda "rad" sembolü neredeyse her zaman ihmal edilir. Herhangi bir sembolün yokluğunda bir açıyı ölçerken, radyanlar varsayılır ve dereceler kastedildiğinde derece işareti ° kullanılır.

Tam bir devir 2 π radyandır (burada yarıçaplı bir daire ve dolayısıyla 2 π çevre ile gösterilmiştir ).

Bir tam dönüş (360 derece) radyan olarak büyüklüğü yarıçapı veya bölü bütün çevresi uzunluğu olduğu, aşağıdaki 2 π R / r ya da 2 tt . Dolayısıyla 2 π radyan 360 dereceye eşittir, yani bir radyan 180 / π57.29577 95130 82320 876 dereceye eşittir . [5]

2 π rad = 360 ° ilişkisi , yay uzunluğu formülü kullanılarak türetilebilir . Yay uzunluğu formülünü almak veya . Bir birim çember varsayarsak; bu nedenle yarıçap 1'dir. Radyan, dairenin yarıçapına eşit uzunlukta bir yayı kapsayan bir açının ölçüsü olduğundan ,. Bu daha da basitleştirilebilir . Her iki tarafı 360 ° ile çarpmak 360 ° = 2 π rad verir .

Tarih

Bir açının derecesinin aksine radyan ölçümü kavramı, normalde 1714'te Roger Cotes'a atfedilir. [6] [7] Radyanı isminden başka her şeyle tanımladı ve bir açısal ölçü birimi olarak onun doğallığını kabul etti. Radyan terimi yaygınlaşmadan önce , birim genellikle bir açının dairesel ölçüsü olarak adlandırılıyordu . [8]

Açıların yay uzunluğuna göre ölçülmesi fikri zaten diğer matematikçiler tarafından kullanılıyordu. Örneğin, el-Kaşi (c. 1400) çap parçalarını birim olarak kullandı, burada bir çap parçası1/60radyan. Ayrıca çap kısmının alt birimlerini de kullandılar. [9]

Terimi radyan ilk belirlediği sınav sorularında, 5 Haziran 1873 tarihinde baskı ortaya çıktı James Thomson (kardeşi Lord Kelvin de) Kraliçe'nin College , Belfast . Bu terimi 1871 gibi erken bir tarihte kullanmıştı, 1869'da o zamanlar St Andrews Üniversitesi'nden Thomas Muir rad , radyal ve radyan terimleri arasında bocaladı . Muir, 1874'te James Thomson ile görüştükten sonra radyan kabul etti . [10] [11] [12] Radyan adı bundan sonra bir süre evrensel olarak benimsenmedi. Longmans'ın Okul Trigonometrisi 1890'da yayınlandığında hala radyan dairesel ölçü olarak adlandırılıyor. [13]

Birim sembolü

Ağırlıklar ve Ölçüler Uluslararası Büro [14] ve Uluslararası Standardizasyon Örgütü [15] belirtmek rad radyan için sembol olarak. Alternatif semboller 100 yıl önce kullanılmaktadır C ( "dairesel önlem" üst simge c harfi,), mektup r ya da bir üst indis R , [16] , ancak bir ile karışabilecek şekilde, bu varyantlar, seyrek kullanılan derece simgesi ( °) veya bir yarıçap (r). Dolayısıyla 1,2 radyanlık bir değer en yaygın olarak 1,2 rad olarak yazılır; diğer gösterimler 1,2 r, 1,2 rad , 1,2 c veya 1,2 R içerir .

Dönüşümler

Derece ve radyan arasında dönüştürmek için bir grafik
Ortak açıların dönüşümü
DönerRadyanDereceGradyanlar veya galonlar
000 °0 g
1/24π/1215 °16+2/3g
1/12π/630 °33+1/3g
1/10π/536 °40 g
1/8π/445 °50 g
1/2 π1c. 57.3 °c. 63,7 g
1/6π/360 °66+2/3g
1/52 π/572 °80 g
1/4π/290 °100 g
1/32 π/3120 °133+1/3g
2/54 π/5144 °160 g
1/2π180 °200 g
3/43 π/2270 °300 g
12 π360 °400 g

Radyan ve derece arasında dönüşüm

Belirtildiği gibi, bir radyan eşittir . Böylece, radyandan dereceye dönüştürmek için ile çarpın .

Örneğin:

Tersine, dereceden radyana dönüştürmek için ile çarpın .

Örneğin:

Radyan dönüştürülebilir dönüşler 2 radyan sayısına bölünmesiyle (tam devir) tt .

Radyan derece dönüşüm türetme

Bir çemberin çevre uzunluğu, çemberin yarıçapı nerede ile verilir .

Dolayısıyla aşağıdaki eşdeğer ilişki doğrudur:

 [ Tam bir daire çizmek için süpürme gerektiğinden]

Radyan tanımına göre, tam bir daire şunları temsil eder:

Yukarıdaki iki ilişkiyi birleştirerek:

Radyan ve gradyanlar arasındaki dönüşüm

radyan bir eşit dönüş tanım olarak 400, Gradians (400 gons veya 400 g ). Yani, radyanlardan gradyanlara dönüştürmek için çarpın ve degradelerden radyana dönüştürmek için çarpın . Örneğin,

Radyan cinsinden ölçmenin avantajları

Radyan cinsinden ölçülen bazı ortak açılar. Bu diyagramdaki tüm büyük çokgenler normal çokgenlerdir .

Gelen hesabı ve pratik ötesinde bir matematik çoğu diğer dalları geometri , açılar evrensel radyan cinsinden ölçülür. Bunun nedeni, radyanların matematiksel bir "doğallığa" sahip olmasıdır ve bu da bir dizi önemli sonucun daha zarif bir formülasyonuna yol açar.

En önemlisi, trigonometrik fonksiyonları içeren analizdeki sonuçlar , fonksiyonların argümanları radyan cinsinden ifade edildiğinde zarif bir şekilde ifade edilebilir. Örneğin, radyan kullanımı basit limit formülüne yol açar

matematikteki diğer birçok kimliğin temeli olan

[5]

Bunlar ve diğer özellikler nedeniyle, trigonometrik fonksiyonlar, fonksiyonların geometrik anlamlarıyla (örneğin, diferansiyel denklemin çözümleri , integralin değerlendirilmesi vb.) Açıkça ilişkili olmayan matematik problemlerinin çözümlerinde ortaya çıkar . Tüm bu durumlarda, fonksiyonlara ilişkin argümanların en doğal olarak geometrik bağlamlarda açıların radyan ölçümüne karşılık gelen biçimde yazıldığı bulunmuştur.

Trigonometrik fonksiyonlar ayrıca radyan kullanıldığında basit ve zarif seri genişletmelerine sahiptir. Örneğin, x radyan içindeyken , sin x için  Taylor serisi şöyle olur:

Eğer x derece cinsinden ifade edilmiş olsaydı, bu durumda seri, π / 180'in kuvvetlerini içeren karmaşık faktörler içerecektir : x derece sayısı ise, radyan sayısı y = π x / 180'dir , yani

Benzer bir ruhla, sinüs ve kosinüs fonksiyonları ile üstel fonksiyon arasındaki matematiksel açıdan önemli ilişkiler (örneğin, Euler formülüne bakınız ), fonksiyonların argümanları radyan cinsinden (ve aksi halde karışık) zarif bir şekilde ifade edilebilir.

Boyutlu analiz

Radyan bir ölçü birimi olmasına rağmen boyutsuz bir niceliktir . Bu, daha önce verilen tanımdan görülebilir: bir dairenin merkezinde bulunan açı, radyan cinsinden ölçülür, kapalı yayın uzunluğunun dairenin yarıçapının uzunluğuna oranına eşittir. Ölçü birimleri birbirini götürdüğü için bu oran boyutsuzdur.

Her ne kadar polar ve küresel koordinatlar , iki ve üç boyutlu koordinatları tanımlamak için radyan kullanmak açı ölçer hala boyutsuzdur, böylece birim, koordinat yarıçapı elde edilir. [17]

Fizikte kullanın

Radyan, açısal ölçümler gerektiğinde fizikte yaygın olarak kullanılır . Örneğin, açısal hız tipik olarak saniye başına radyan (rad / s) cinsinden ölçülür . Saniyede bir devir, saniyede 2 π radyana eşittir .

Benzer şekilde, açısal ivme genellikle saniyede saniye başına radyan cinsinden ölçülür (rad / s 2 ).

Boyut analizi amacıyla, açısal hız ve açısal ivme birimleri sırasıyla s −1 ve s −2'dir .

Aynı şekilde, iki dalganın faz farkı da radyan cinsinden ölçülebilir. Örneğin, iki dalganın faz farkı ( k ⋅2 π ) radyan ise, burada k bir tamsayıdır, bunlar fazda kabul edilirken, iki dalganın faz farkı ( k ⋅2 π + π ) ise, burada k bir tamsayıdır, ters faz olarak kabul edilirler.

SI katları

Metrik önekler radyanlarla sınırlı kullanıma sahiptir ve matematikte hiçbiri yoktur. Bir milliradian (mrad) bir radyan binde bir mikroradyan (μrad) bir radyan bir milyonda, yani , 1 rad = 10 3 mrad = 10 6 μrad .

2 vardır π bir daire × 1000 miliradyan (≈ 6283,185 mrad). Yani bir milliradian hemen altında1/6283açının tam bir dairenin kapsadığı. Çemberin açısal ölçüm Bu "gerçek" birim tarafından kullanılıyor teleskopik görme kullanarak üreticileri rangefinding (stadiametric) içinde retiküller . Sapma ait lazer ışınları da genellikle miliradyan ölçülür.

Miliradiyenin (0.001 rad) bir yaklaşımı, NATO ve diğer askeri örgütler tarafından topçuluk ve hedeflemede kullanılır . Her açısal mil temsil eder1/6400 bir çemberin ve 15/8% veya% 1.875 daha küçük. Hedefleme çalışmasında tipik olarak bulunan küçük açılar için, hesaplamada 6400 sayısını kullanmanın rahatlığı, ortaya çıkardığı küçük matematiksel hatalardan daha ağır basmaktadır. Geçmişte, diğer topçu sistemleri farklı yaklaşımlar kullanmıştır.1/2000 π; örneğin İsveç,1/6300 streck ve SSCB kullanıldı1/6000. Milliradian'a dayalı olan NATO mil, 1000 m'lik bir menzilde kabaca 1 m'yi kaplamaktadır (bu kadar küçük açılarda, eğrilik ihmal edilebilir düzeydedir).

Mikroradyanlar (μrad) ve nanoradyanlar (nrad) gibi daha küçük birimler astronomide kullanılır ve ayrıca ultra düşük sapmalı lazerlerin ışın kalitesini ölçmek için de kullanılabilir. Daha yaygın olan ikinci yay olanπ/648.000 rad (yaklaşık 4.8481 mikroradyan). Benzer şekilde, milimetreden küçük önekler son derece küçük açıların ölçülmesinde potansiyel olarak yararlıdır.

Ayrıca bakınız

  • Açısal frekans
  • Dakika ve saniye ark
  • Steradian , katı açıyı ölçen radyanın daha yüksek boyutlu bir analoğu
  • Trigonometri

Notlar ve referanslar

  1. ^ "Geometri ve Trigonometri Sembollerinin Listesi" . Matematik Kasası . 2020-04-17 . Erişim tarihi: 2020-08-31 .
  2. ^ "CGPM'nin 20. Toplantısında Karar 8'i (1995)" . Bureau International des Poids et Mesures . Erişim tarihi: 2014-09-23 .
  3. ^ Protter, Murray H .; Morrey, Charles B., Jr. (1970), College Calculus with Analytic Geometry (2. baskı), Okuma: Addison-Wesley , s. APP-4, LCCN 76087042 
  4. ^ ISO 80000-3: 2006
  5. ^ a b Weisstein, Eric W. "Radyan" . mathworld.wolfram.com . Erişim tarihi: 2020-08-31 .
  6. ^ O'Connor, JJ; Robertson, EF (Şubat 2005). "Roger Cotes'in Biyografisi" . MacTutor Matematik Tarihi .
  7. ^ Roger Cotes 1716'da öldü. 1722'de kuzeni Robert Smith, Cotes'in matematiksel yazılarını Harmonia mensurarum adlı bir kitapta toplayıp yayınladı …. Smith tarafından yazılan bir editoryal yorum bölümünde, ilk kez bir radyanın derece cinsinden değerini veriyor. Bakınız: Roger Cotes ile Robert Smith, ed., Harmonia mensurarum … (Cambridge, İngiltere: 1722), bölüm: Editoris notæ ad Harmoniam mensurarum, sayfa 95 . Sayfa 95'ten: 180 ° 'ninbir birim çember (yani, π radyan)boyunca π (3.14159…)uzunluğuna karşılık geldiğini belirttikten sonra, Smith şöyle yazar: "Unde Modulus Canonis Trigonometrici prodibit 57.2957795130 & c." (Trigonometrik ölçü birimi 57.2957795130… [radyan başına derece] görünecektir.)
  8. ^ Isaac Todhunter, Düzlem Trigonometrisi: Kolejlerin ve Okulların Kullanımı İçin , s. 10 , Cambridge ve Londra: MacMillan, 1864 OCLC 500022958 
  9. ^ Luckey, Paul (1953) [1424 kitabın çevirisi]. Siggel, A. (ed.). Der Lehrbrief über den kreisumfang von Gamshid b. Mes'ud al-Kasi [ Kashi'nin Çevresi Üzerine İnceleme ]. Berlin: Akademie Verlag. s. 40.
  10. ^ Cajori, Florian (1929). Matematiksel Notasyonların Tarihi . 2 . Dover Yayınları. s.  147–148 . ISBN 0-486-67766-4.
  11. ^ Muir, Thos. (1910). Trigonometride "Radyan" terimi . Doğa . 83 (2110): 156. Bibcode : 1910Natur..83..156M . doi : 10.1038 / 083156a0 . S2CID 3958702 . Thomson James (1910). Trigonometride "Radyan" terimi . Doğa . 83 (2112): 217. Bibcode : 1910Natur..83..217T . doi : 10.1038 / 083217c0 . S2CID  3980250 .Muir, Thos. (1910). Trigonometride "Radyan" terimi . Doğa . 83 (2120): 459–460. Bibcode : 1910Natur..83..459M . doi : 10.1038 / 083459d0 . S2CID  3971449 .
  12. ^ Miller, Jeff (23 Kas 2009). "Matematikle İlgili Bazı Kelimelerin Bilinen En Eski Kullanımları" . Erişim tarihi: Sep 30, 2011 .
  13. ^ Frederick Sparks, Longmans'ın Okul Trigonometrisi , s. 6, Londra: Longmans, Green, and Co., 1890 OCLC 877238863 (1891 baskısı) 
  14. ^ 2019 BIPM Broşürü
  15. ^ ISO 80000-3: 2006 Miktarlar ve Birimler - Uzay ve Zaman
  16. ^ Hall, Arthur Graham; Frink, Fred Goodrich (Ocak 1909). "Bölüm VII. Genel Açı [55] Değer İşaretleri ve Sınırlamaları. Alıştırma XV.". Ann Arbor, Michigan, ABD'de yazılmıştır. Trigonometri . Bölüm I: Düzlem Trigonometrisi. New York, ABD: Henry Holt and Company / Norwood Press / JS Cushing Co. - Berwick & Smith Co., Norwood, Massachusetts, ABD. s. 73 . Erişim tarihi: 2017-08-12 .
  17. ^ Bu anlam ve kullanım üzerine bir tartışma için bakınız: Brownstein, KR (1997). "Açılar — Onları kare şeklinde ele alalım". American Journal of Physics . 65 (7): 605–614. Bibcode : 1997AmJPh..65..605B . doi : 10.1119 / 1.18616 ., Romain, JE (1962). "Dördüncü temel nicelik olarak açılar" . Standartlar Bölüm B'nin Ulusal Bürosu Araştırma Dergisi . 66B (3): 97. doi : 10.6028 / jres.066B.012 ., LéVy-Leblond, Jean-Marc (1998). "Boyut açıları ve evrensel sabitler". American Journal of Physics . 66 (9): 814–815. Bibcode : 1998AmJPh..66..814L . doi : 10.1119 / 1.18964 .ve Romer, Robert H. (1999). "Birimler — Yalnızca SI için mi, yoksa Çok Kültürlü Çeşitlilik mi?". American Journal of Physics . 67 (1): 13–16. Bibcode : 1999AmJPh..67 ... 13R . doi : 10.1119 / 1.19185 .

Dış bağlantılar

  • İlgili Medya Radyan Wikimedia Commons