Yer (matematik)

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Gezintiye atla Aramaya atla
Bu örnekte, her bir eğri olan lokus olarak tanımlanan conchoid noktası P ve çizgi l . Bu örnekte P , l' den 8 cm'dir .

İn geometrisi , bir lokus (çoğulu lokusların ) (Latince "Yer" kelimesi, "konum") a, dizi tüm noktaları (yaygın olarak, bir hat , bir çizgi parçası , bir eğri ya da bir yüzey yer tatmin veya daha azdır), bir veya daha fazla belirtilen koşul tarafından belirlenir. [1] [2]

Başka bir deyişle, bazı özellikleri karşılayan noktalar kümesine genellikle bu özelliği karşılayan bir noktanın yeri denir . Bu formülasyonda tekil ifadesinin kullanılması, 19. yüzyılın sonuna kadar matematikçilerin sonsuz kümeleri dikkate almadıklarına tanıklık ediyor. Bunun yerine puan setlerinin olarak çizgiler ve eğriler görüntüleme, bir nokta olabilir yerler olarak bunları görüntüleyen bulunan veya hareket edebilir.

Tarih ve felsefe [ değiştir ]

20. yüzyılın başlarına kadar, geometrik bir şekil (örneğin bir eğri) sonsuz bir nokta kümesi olarak düşünülmüyordu; daha ziyade, üzerinde bir noktanın bulunabileceği veya üzerinde hareket ettiği bir varlık olarak kabul edildi. Bu nedenle, bir daire içinde Öklid düzleminde olarak tanımlandı lokusunun bir sabit nokta belirli bir mesafede, dairenin merkezi bir deliği kapsamaktadır. Modern matematikte, benzer kavramlar, şekilleri setler olarak tanımlayarak daha sık yeniden formüle edilir; örneğin, dairenin merkezden belirli bir mesafede bulunan noktalar kümesi olduğu söylenebilir. [3]

Küme-kuramsal görüşün aksine, eski formülasyon sonsuz koleksiyonları düşünmekten kaçınır, çünkü gerçek sonsuzdan kaçınmak önceki matematikçilerin önemli bir felsefi pozisyonuydu. [4] [5]

Bir kez küme teorisi bütün matematik inşa edildiği üzerinde evrensel temelini, oldu [6] odağı terim oldukça eski moda oldu. [7] Yine de, kelime hala yaygın olarak kullanılmaktadır, örneğin özlü bir formülasyon için, örneğin:

  • Türevlenebilir bir fonksiyonun kritik noktaları kümesi.
  • Sıfır yer veya kaybolan yer , bir fonksiyonun sıfır değerini almasıyla kaybolduğu noktalar kümesidir .
  • Tekil lokus , grubu tekil noktaları bir bölgesinin cebirsel çeşitli .
  • Bağlılık lokusu , fonksiyonun Julia kümesinin bağlıolduğu bir rasyonel fonksiyonlar ailesinin parametre setinin alt kümesi.

Daha yakın zamanlarda, böyle bir teori olarak teknikleri şemaları ve kullanımı kategorisi teorisi yerine küme teorisine matematik bir temel vermek için, kendi içinde bir nesne olarak değil, bir set olarak daha bir odağı orijinal tanımı gibi kavramlara geri döndü puan. [5]

Düzlem geometrisinde örnekler [ düzenle ]

Düzlem geometrisinden örnekler şunları içerir:

  • Noktaları kümesi iki nokta bir olduğunu eşit uzaklıkta dik açıortay için çizgi parçasının iki noktayı birleştiren. [8]
  • Kesişen iki çizgiye eşit uzaklıkta olan noktalar kümesi açıortaydır .
  • Tüm konik bölümler konumlardır: [9]
    • Daire : Tek bir noktadan uzaklığın sabit olduğu noktalar kümesi ( yarıçap ).
    • Parabol : sabit bir noktadan ( odak ) ve bir çizgiden ( directrix ) eşit uzaklıkta olan noktalar kümesi .
    • Hiperbol : Her biri için, verilen iki odak arasındaki mesafeler arasındaki farkın mutlak değerinin sabit olduğu noktalar kümesidir.
    • Elips : Verilen iki odak noktasına olan mesafelerin toplamının sabit olduğu her biri için noktalar kümesi

Diğer lokus örnekleri matematiğin çeşitli alanlarında görülür. Örneğin, karmaşık dinamiklerde , Mandelbrot kümesi , bir polinom haritaları ailesinin bağlantılılık konumu olarak karakterize edilebilen karmaşık düzlemin bir alt kümesidir .

Bir konumun kanıtı [ değiştir ]

Geometrik bir şeklin belirli bir koşullar kümesi için doğru yer olduğunu kanıtlamak için kişi genellikle ispatı iki aşamaya ayırır: [10]

  • Koşulları sağlayan tüm noktaların verilen şekil üzerinde olduğunun kanıtı.
  • Verilen şeklin üzerindeki tüm noktaların koşulları karşıladığının kanıtı.

Örnekler [ düzenle ]

( PA mesafesi ) = 3. ( PB mesafesi )

İlk örnek [ düzenle ]

Verilen iki noktaya k = d 1 / d 2 uzaklık oranına sahip bir P noktasının lokusunu bulun .

Bu örnekte k = 3, A (−1, 0) ve B (0, 2) sabit noktalar olarak seçilmiştir.

P ( x ,  y ) konumun bir noktasıdır

Bu denklem , merkezi (1/8, 9/4) ve yarıçapı olan bir daireyi temsil eder . Bu k , A ve B değerleriyle tanımlanan Apollonius çemberidir .

İkinci örnek [ düzenle ]

C noktasının odağı

ABC üçgeninin c uzunluğunda sabit bir kenarı [ AB ] vardır . Üçüncü lokusunu belirlemek tepe C bu şekilde ortanca gelen A ve C olan ortogonal .

Bir seçim ortonormal koordinat sistemi bu şekilde bir (- C / 2, 0), B ( C / 2, 0). C ( x ,  y ) üçüncü köşe değişkendir. [ BC ] 'nin merkezi M ((2 x  +  c ) / 4,  y / 2). C'den gelen medyan y / x eğimine sahiptir . Ortanca AM , 2 y / (2 x  + 3 c ) eğimine sahiptir .

Yer bir çemberdir
C ( x ,  y ) konumun bir noktasıdır
A ve C'deki medyanlar ortogonaldir

C tepe noktasının konumu , merkezi (−3 c / 4, 0) ve yarıçapı 3 c / 4 olan bir çemberdir .

Üçüncü örnek [ düzenle ]

İlişkili doğruların kesişme noktası k ve l çemberi tanımlar

Bir lokus ayrıca bir ortak parametreye bağlı olarak iki ilişkili eğri ile tanımlanabilir . Parametre değişirse, ilişkili eğrilerin kesişme noktaları lokusu tanımlar.

Şekilde, K ve L noktaları belirli bir m doğrusundaki sabit noktalardır . Hat k yoluyla değişken bir çizgidir K . Hat L boyunca L olan dik için k . K ve m arasındaki açı parametredir. k ve l , ortak parametreye bağlı olarak ilişkili çizgilerdir. Değişken kesişme noktası S ve k ve l bir daireyi tarif etmektedir. Bu daire, ilişkili iki çizginin kesişme noktasının yeridir.

Dördüncü örnek [ düzenle ]

Bir noktaların yerinin tek boyutlu olması gerekmez (daire, çizgi, vb.). Örneğin, [1] 2 x + 3 y - 6 <0 eşitsizliğinin konumu , düzlemin 2 x + 3 y - 6 = 0 denklem çizgisinin altındaki kısmıdır .

Ayrıca bkz. [ Düzenle ]

  • Cebirsel çeşitlilik
  • Eğri
  • Çizgi (geometri)
  • Bölge (geometri)
  • Şekil (geometri)

Referanslar [ düzenle ]

  1. ^ a b James, Robert Clarke; James, Glenn (1992), Matematik Sözlüğü , Springer, s. 255, ISBN 978-0-412-99041-0.
  2. ^ Whitehead, Alfred North (1911), Matematiğe Giriş , H. Holt, s. 121, ISBN 978-1-103-19784-2.
  3. ^ Cooke, Roger L. (2012), "38.3 Topology", The History of Mathematics: A Brief Course (3rd ed.), John Wiley & Sons, ISBN 9781118460290, Yer kelimesi, belirtilen kısıtlamalara tabi hareket eden bir noktanın izlediği yolu belirtmek için bugün hala kullandığımız bir kelimedir, ancak küme teorisinin ortaya çıkışından bu yana, bir yer daha çok belirli bir noktayı karşılayan noktalar kümesi olarak durağan olarak düşünülmektedir. Toplamak.
  4. ^ Bourbaki, N. (2013), Matematik Tarihinin Unsurları , çevrilen J. Meldrum, Springer, s. 26, ISBN 9783642616938, Klasik matematikçiler dikkatli akıl yürütme 'fiili sonsuzluğa' içine tanıtan kaçınılması.
  5. ^ a b Borovik, Alexandre (2010), "6.2.4 Gerçek sonsuzluk olmadan yaşanabilir mi?", Mathematics Under the Microscope: Notes on Cognitive Aspects of Mathematical Practice , American Mathematical Society, s. 124, ISBN 9780821847619.
  6. ^ Mayberry, John P. (2000), Kümeler Teorisinde Matematiğin Temelleri, Matematik Ansiklopedisi ve Uygulamaları, 82 , Cambridge University Press, s. 7, ISBN 9780521770347, küme teorisi tüm matematiğin temellerini sağlar.
  7. ^ Ledermann, Walter; Vajda, S. (1985), Kombinatorik ve Geometri, Kısım 1 , Uygulanabilir Matematik El Kitabı, 5 , Wiley, s. 32, ISBN 9780471900238, Biraz eski moda bir terimi açıklayarak başlıyoruz.
  8. ^ George E. Martin, The Foundations of Geometry and the Non-Euclidean Plane , Springer-Verlag, 1975.
  9. ^ Hamilton, Henry Parr (1834), Konik Kesitlerin Analitik Bir Sistemi: Öğrencilerin Kullanımı İçin Tasarlandı , Springer.
  10. ^ GP West, Yeni geometri: 1. form .