Görüntü (matematik)

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Gezintiye atla Aramaya atla
f alan bir fonksiyonu olan X değer kümesi için Y . Y'nin içindeki sarı oval , f'nin görüntüsüdür .

Gelen matematik , görüntü a fonksiyonu üretmesi olan tüm çıkış değerleri setidir.

Daha genel olarak, belirli bir fonksiyon değerlendirme f , belirli bir alt küme her bir elemanı olarak , A barındırmayan etki "olarak adlandırılan bir dizi üreten görüntü ait A (ya da yoluyla) altında f ". Benzer şekilde, ters görüntüsü (veya öngörüntü belirli bir alt küme içinde) B ait değer kümesi arasında f , etki alanının tüm elemanları seti olduğu üyelerine harita B .

Görüntü ve ters görüntü, sadece işlevler için değil, genel ikili ilişkiler için de tanımlanabilir .

Tanım [ düzenle ]

"Görüntü" kelimesi birbiriyle ilişkili üç şekilde kullanılmaktadır. Bu tanımlarda yer alan f  : XY, a, fonksiyon gelen grubu X kümesine Y .

Bir öğenin görüntüsü [ düzenle ]

Eğer X bir üyesi olan , X , daha sonra resim x altında f , gösterilen f ( x ), [1] bir değer arasında f uygulandığında x. f ( x ), alternatif olarak x argümanı için f'nin çıktısı olarak bilinir .

Bir alt kümenin görüntüsü [ düzenle ]

Bir alt görüntüsü birX altında f gösterilen, , alt kümesi olup , Y kullanılarak tanımlanabilir grubu oluşturucu gösterimini , aşağıdaki gibi: [2]

Karışıklık riski olmadığında , basitçe olarak yazılır . Bu kongre yaygın bir konvansiyondur; amaçlanan anlam bağlamdan çıkarılmalıdır. Bu da f [.] Olan bir işlev alanı olan güç grubu ve X (bütün grubu alt kümelerinin arasında X ) ve değer kümesi gücü dizi Y . Daha fazla bilgi için aşağıdaki § Notasyona bakın.

Bir işlevin görüntüsü [ düzenle ]

Görüntü bir fonksiyonun, tüm görüntüsü olan alan olarak da bilinen, aralık fonksiyonunun. [3]

İkili ilişkilere genelleme [ değiştir ]

Eğer R, isteğe bağlı bir olan ikili bir ilişki ile ilgili X x Y , o grubu {y∈ Y | Bazı xX } için xRy , R'nin görüntüsü veya aralığı olarak adlandırılır . İkili olarak, { xX | xRy bir y∈ için Y } alanını adlandırılır R .

Ters görüntü [ düzenle ]

Let f bir fonksiyonu olarak X ile Y . Öngörüntü veya ters görüntü bir dizi BY altında f ile gösterilen, , alt kümesi olup , X ile tanımlanan

Diğer gösterimler arasında f  −1 ( B ) [4] ve f  - ( B ) bulunur . [5] , bir ters görüntüsü tekil ile gösterilen, f  -1 [{ y }] ya f  -1 [ y ], olarak da adlandırılır lif üzerine y veya seviyesi ayarına ait y . Unsurları üzerindeki tüm liflerin kümesi Y tarafından endeksli setleri ailesidir Y .

Örneğin, f ( x ) = x 2 işlevi için, {4} 'ün ters görüntüsü {−2, 2} olacaktır. Zihin karışıklığı gibi riski yoktur Yine, f  -1 [ B ] ile temsil edilebilir f  -1 ( B ), ve f  -1 , aynı zamanda, güç grubu bir fonksiyonu olarak düşünülebilir Y gücü ayarlamak için X . F  −1 notasyonu , ters fonksiyon için olanla karıştırılmamalıdır , ancak f altındaki B'nin ters görüntüsünün olması nedeniyle önyargılar için olağan olanla çakışır.B'nin f  −1 altındaki görüntüsüdür .

Görüntü ve ters görüntü için gösterim [ düzenle ]

Önceki bölümde kullanılan geleneksel gösterimler kafa karıştırıcı olabilir. Bir alternatif [6] , güç kümeleri arasındaki işlevler olarak görüntü ve ön görüntü için açık adlar vermektir:

Ok gösterimi [ düzenle ]

  • ile
  • ile

Yıldız notasyonu [ düzenle ]

  • onun yerine
  • onun yerine

Diğer terminoloji [ değiştir ]

  • İçin alternatif bir gösterim f [ A ] olarak kullanılan matematiksel mantık ve küme teorisi olan f  " A . [7] [8]
  • Bazı metinler imajına atıfta f aralığında olarak f , ama kelime "aralığı" da yaygın anlamında kullanıldığı için bu kullanım kaçınılmalıdır değer kümesi içinde f .

Örnekler [ düzenle ]

  1. f : {1, 2, 3} → { a, b, c, d } şu şekilde tanımlanmıştır:
    Görüntü altında grubu {2, 3} ve f olan f ({2, 3}) = { a, c }. Görüntü fonksiyonu f {olan a, c }. Öngörüntü arasında bir olduğu f  -1 ({ a }) = {1, 2}. Öngörüntü {arasında a, b } ayrıca {1, 2} olduğu. { B , d } ön görüntüsü boş kümedir {}.
  2. f : RR , f ( x ) = x 2 ile tanımlanır .
    Görüntü altındaki {-2, 3} ve f olan f ({-2, 3}) = {4, 9} ve görüntü ve f olan R + . Öngörüntü altındaki {4, 9} ve f olan f  -1 ({4, 9}) = {-3, -2, 2, 3}. Kümenin ön görüntüsü N = { nR | f'nin altındaki n <0} boş kümedir, çünkü gerçekler kümesinde negatif sayıların karekökleri yoktur.
  3. f : R 2R , f ( x , y ) = x 2 + y 2 ile tanımlanır .
    Elyaf f  -1 ({ a }) olan eş-merkezli daireleri ile ilgili kökenli , köken kendisi ve boş grubu bağlı olarak, bir 0,> bir = 0 ya da bir <0, sırasıyla.
  4. Eğer M bir olduğunu manifoldu ve π : TMM standart bir çıkıntı gelen teğet demeti TM için M , daha sonra lifler arasında tt olan teğet alanlarda , T x ( M için) xM . Bu aynı zamanda bir elyaf demeti örneğidir .
  5. Bölüm grubu, homomorfik bir görüntüdür.

Özellikler [ düzenle ]

Dayalı Karşı örnekler
f : → ℝ, xx 2 , gösteren
genellikle gerektiğini eşitliği
bazı yasaların için tutamaz:
f ( A 1A 2 ) ⊊ f ( A 1 ) ∩ f ( A 2 )
f ( f −1 ( B 3 )) ⊊ B 3
f −1 ( f ( A 4 )) ⊋ A 4

Genel [ değiştir ]

Her işlev ve tüm alt kümeler için ve aşağıdaki özellikler geçerlidir:

ResimÖn görüntü

(eşitse , ör . örtense) [9] [10]

( enjekte edildiyse eşittir ) [9] [10]
[9]
[11][11]
[11][11]

Ayrıca:

Birden çok işlev [ düzenle ]

Fonksiyonlar için ve alt kümelerle ve aşağıdaki özellikler geçerlidir:

Birden çok alan veya ortak alan alt kümesi [ düzenle ]

İşlev ve alt kümeler için ve aşağıdaki özellikler geçerlidir:

ResimÖn görüntü
[11] [12]
[11] [12]
(eşit isebirebirdir [13] )
[11]
(eşit olması halindebirebirdir [13] )
[11]

( enjekte ise eşittir )

Görüntüleri ve ön görüntüleri ( Boolean ) kesişim ve birleşim cebiriyle ilişkilendiren sonuçlar , yalnızca alt küme çiftleri için değil, herhangi bir alt küme koleksiyonu için de işe yarar:

(Burada S sonsuz, hatta sayılamayacak kadar sonsuz olabilir .)

Yukarıda açıklanan alt kümelerin cebiriyle ilgili olarak, ters görüntü işlevi bir kafes homomorfizmidir , görüntü işlevi ise yalnızca bir yarıatlık homomorfizmidir (yani, her zaman kesişimleri korumaz).

Ayrıca bkz. [ Düzenle ]

  • Bijeksiyon, enjeksiyon ve surjeksiyon
  • Görüntü (kategori teorisi)
  • Bir işlevin çekirdeği
  • Ters çevirmeyi ayarla

Notlar [ düzenle ]

  1. ^ "Matematiksel Sembollerin Özeti" . Matematik Kasası . 2020-03-01 . Erişim tarihi: 2020-08-28 .
  2. ^ "5.4: İşlevlere ve Görüntülere / Kümelerin Ön Görüntülerine" . Matematik LibreTexts . 2019-11-05 . Erişim tarihi: 2020-08-28 .
  3. ^ Weisstein, Eric W. "Görüntü" . mathworld.wolfram.com . Erişim tarihi: 2020-08-28 .
  4. ^ "Cebir Sembollerinin Kapsamlı Listesi" . Matematik Kasası . 2020-03-25 . Erişim tarihi: 2020-08-28 .
  5. ^ Dolecki & Mynard 2016 , sayfa 4-5.
  6. ^ Blyth 2005 , s. 5.
  7. ^ Jean E. Rubin (1967). Matematikçi için Set Teorisi . Holden Günü. s. xix. ASIN B0006BQH7S . 
  8. ^ M. Randall Holmes: Normal NFU modellerinde urelementlerin homojenliği , 29 Aralık 2005, on: Semantic Scholar, s. 2
  9. ^ a b c Bkz. Halmos 1960 , s. 39
  10. ^ a b Bkz. Munkres 2000 , s. 19
  11. ^ a b c d e f g h Bkz. Lee, John M. (2010), s. 388. Topolojik Manifoldlara Giriş, 2. Baskı.
  12. ^ a b Kelley 1985 , s. 85
  13. ^ a b Bkz. Munkres 2000 , s. 21

Referanslar [ düzenle ]

  • Artin, Michael (1991). Cebir . Prentice Hall. ISBN 81-203-0871-9.
  • Blyth, TS (2005). Kafesler ve Sıralı Cebirsel Yapılar . Springer. ISBN 1-85233-905-5..
  • Dolecki, Szymon ; Mynard, Frederic (2016). Topolojinin Yakınsama Temelleri . New Jersey: World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-4571-52-4. OCLC  945169917 .
  • Halmos, Paul R. (1960). Naif küme teorisi . Lisans Matematik Üniversite Dizisi. van Nostrand Şirketi. Zbl  0087.04403 .
  • Kelley, John L. (1985). Genel Topoloji . Matematikte Lisansüstü Metinler . 27 (2. baskı). Birkhäuser. ISBN 978-0-387-90125-1.
  • Munkres, James R. (2000). Topoloji (İkinci baskı). Upper Saddle River, NJ : Prentice Hall, Inc . ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC  42683260 .

Bu makale , Creative Commons Attribution / Share-Alike Lisansı altında lisanslanan PlanetMath üzerindeki Fiber materyallerini içermektedir .