Bir fonksiyonun diferansiyeli

Olarak hesap , diferansiyel temsil ana kısmını bir değişimin fonksiyon y  =  f ( x , bağımsız değişken değişikliklere göre). Diferansiyel dy şu şekilde tanımlanır:

${\ displaystyle dy = f '(x) \, dx,}$

burada bir türevinin bir f göre x ve dx ek gerçek değişken (ki dy bir fonksiyonu olan x ve dx ). Gösterim, denklemin${\ displaystyle f '(x)}$

${\ displaystyle dy = {\ frac {dy} {dx}} \, dx}$

Türevin Leibniz gösteriminde dy / dx'te temsil edildiği ve bu, türevin diferansiyellerin bölümü olarak görülmesi ile tutarlıdır. Biri de yazar

${\ displaystyle df (x) = f '(x) \, dx.}$

Dy ve dx değişkenlerinin kesin anlamı , uygulamanın bağlamına ve gerekli matematiksel titizlik düzeyine bağlıdır. Bu değişkenlerin alanı, eğer diferansiyel belirli bir diferansiyel form olarak kabul edilirse belirli bir geometrik anlam veya diferansiyel, bir fonksiyonun artışına doğrusal bir yaklaşım olarak kabul edilirse analitik anlam kazanabilir . Geleneksel olarak, dx ve dy değişkenlerinin çok küçük olduğu ( sonsuz küçük ) kabul edilir ve bu yorum standart olmayan analizde titizlikle yapılır .

Tarih ve kullanım [ düzenle ]

Diferansiyel ilk önce Isaac Newton tarafından sezgisel veya sezgisel bir tanımla tanıtıldı ve diferansiyel dy'yi fonksiyonun y değerindeki sonsuz küçük (veya sonsuz küçük ) değişiklik  olarak düşünen  Gottfried Leibniz tarafından sonsuz küçük bir dx değişikliğine karşılık geldi.  fonksiyonun argümanında  x . Bu nedenle, fonksiyonun türevinin değeri olan x'e göre y'nin anlık değişim oranı , kesir ile gösterilir.

${\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}}}$

Türevler için Leibniz gösterimi denen şeyde . Dy / dx bölümü sonsuz küçük değildir; daha ziyade gerçek bir sayıdır .

Sonsuz küçüklerin bu biçimde kullanılması, örneğin Bishop Berkeley tarafından yazılan ünlü The Analyst broşürü tarafından geniş ölçüde eleştirildi . Augustin-Louis Cauchy ( 1823 ) farkı, Leibniz'in sonsuz küçüklerinin atomizmine başvurmadan tanımladı. ^{[1] [2]} Bunun yerine, d'Alembert'in ardından Cauchy, Leibniz ve haleflerinin mantıksal sırasını tersine çevirdi: Türevin kendisi , fark bölümlerinin sınırı olarak tanımlanan temel nesne haline geldi ve daha sonra diferansiyeller, o. Yani, diferansiyel dy'yi bir ifade ile tanımlamakta özgürdü .

${\ displaystyle dy = f '(x) \, dx}$

hangi dy ve dx sonlu gerçek değerlerini alarak yeni değişkenler, sade ^[3] onlar Leibniz için olmuştu sabit değildir infinitesimals olarak. ^[4]

Göre Boyer (1959 , s. 12), Cauchy yaklaşımı için, bunun yerine sonsuz küçükler metafizik kavramını çağırmak Leibniz'i sonsuz yaklaşımı üzerinde önemli bir mantıksal gelişme miktarları olduğu dy ve dx hemen tam olarak aynı şekilde olarak manipüle edilebilir anlamlı bir şekilde diğer gerçek nicelikler. Cauchy'nin farklılıklara yönelik genel kavramsal yaklaşımı, modern analitik tedavilerde standart bir yaklaşım olmaya devam etmektedir ^[5], ancak kesinlik üzerine son söz, tamamen modern bir sınır kavramı, nihayetinde Karl Weierstrass'tan kaynaklanmıştır . ^[6]

Termodinamik teorisine uygulananlar gibi fiziksel tedavilerde, sonsuz küçük görüş hala hakimdir. Courant ve John (1999 , s. 184) sonsuz küçük farklılıkların fiziksel kullanımı ile bunların matematiksel imkansızlığını şu şekilde bağdaştırmaktadır. Diferansiyeller, amaçlandıkları belirli amaç için gereken doğruluk derecesinden daha küçük olan sıfır olmayan sonlu değerleri temsil eder. Bu nedenle, "fiziksel sonsuz küçükler", kesin bir anlama sahip olmak için karşılık gelen matematiksel sonsuz küçüklüğe başvurmak zorunda değildir.

Matematiksel analiz ve diferansiyel geometride yirminci yüzyıldaki gelişmelerin ardından , bir fonksiyonun farklılığı kavramının çeşitli şekillerde genişletilebileceği ortaya çıktı. Olarak gerçek analiz , bir fonksiyonun artış temel bir parçası olarak bir diferansiyel ile doğrudan işlem daha çok arzu edilir. Bu, doğrudan bir fonksiyonun bir noktadaki diferansiyelinin Δ x artışının doğrusal bir fonksiyonu olduğu fikrine götürür . Bu yaklaşım, diferansiyelin (doğrusal bir harita olarak) çeşitli daha karmaşık alanlar için geliştirilmesine izin verir ve sonuçta Fréchet veya Gateaux türevi gibi kavramlara yol açar . Aynı şekildediferansiyel geometri , bir noktadaki bir fonksiyonun diferansiyeli, teğet bir vektörün ("sonsuz küçük yer değiştirme") doğrusal bir fonksiyonudur ve onu bir tür tek form olarak gösterir: fonksiyonun dış türevi . Olarak standart olmayan hesabı , diferansiyel kendilerini sıkı bir zemin üzerine oturtulabilir, hangi sonsuz küçükler olarak kabul edilmektedir (bakınız ) diferansiyel (sonsuz küçük ).

Tanım [ düzenle ]

Diferansiyel analizin modern işlemlerinde diferansiyel aşağıdaki gibi tanımlanır. ^[7] Tek bir gerçek değişken x'in f ( x ) fonksiyonunun diferansiyeli, iki bağımsız gerçek değişken x ve Δ x'in df fonksiyonudur .

${\ displaystyle df (x, \ Delta x) {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} f '(x) \, \ Delta x.}$

Argümanlardan biri veya her ikisi de bastırılabilir, yani biri df ( x ) veya basitçe df görülebilir . Eğer y  =  f ( x ), ayırıcı aynı zamanda şu şekilde yazılabilir dy . Yana dx ( x , Δ x ) = Δ x o yazma geleneksel olan dx  = Δ x , böylece aşağıdaki eşitlik tutan:

${\ displaystyle df (x) = f '(x) \, dx}$

Bu diferansiyel kavramı, Δ x artışının değerinin yeterince küçük olduğu bir fonksiyona doğrusal bir yaklaşım arandığında geniş ölçüde uygulanabilir . Daha kesin bir ifadeyle, eğer f a, türevlenebilir fonksiyonu olarak x , daha sonra farkı y -değerlerinin

${\ displaystyle \ Delta y {\ stackrel {\ rm {def}} {=}} f (x + \ Delta x) -f (x)}$

tatmin eder

${\ displaystyle \ Delta y = f '(x) \, \ Delta x + \ varepsilon = df (x) + \ varepsilon \,}$

Yaklaşıklıktaki error hatası, ε x  → 0 olarak ε / Δ x  → 0'ı sağlar. Başka bir deyişle, biri yaklaşık özdeşliğe sahiptir

${\ displaystyle \ Delta y \ yaklaşık dy}$

ki burada hata Ô istenen görece olarak küçük olarak yapılabilir x Í kısıtlayarak x yeteri kadar küçük olduğu; demek ki,

${\ displaystyle {\ frac {\ Delta y-dy} {\ Delta x}} \ ila 0}$

Δ x  → 0. Bu nedenle, bir fonksiyonun diferansiyeli, bir fonksiyonun artışındaki temel (lineer) kısım olarak bilinir : diferansiyel, Δ x artışının lineer bir fonksiyonudur ve error hatası olabilir. doğrusal olmayan, Δ x sıfıra meylettiği için hızla sıfıra meyillidir.

Birkaç değişkendeki farklar [ düzenle ]

Operatör \ Fonksiyon	${\ displaystyle f (x)}$	${\ displaystyle f (x, y, u (x, y), v (x, y))}$
Diferansiyel	1: ${\ displaystyle df \, {\ taşıyor {\ underet {\ mathrm {def}} {}} {=}} \, f '_ {x} \, dx}$	2: ${\displaystyle d_{x}f\,{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\,f'_{x}\,dx}$ 3: d f = d e f f x ′ d x + f y ′ d y + f u ′ d u + f v ′ d v {\displaystyle df\,{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\,f'_{x}dx+f'_{y}dy+f'_{u}du+f'_{v}dv}
Kısmi türev	${\displaystyle f'_{x}\,{\overset {\underset {\mathrm {(1)} }{}}{=}}\,{\frac {df}{dx}}}$	${\displaystyle f'_{x}\,{\overset {\underset {\mathrm {(2)} }{}}{=}}\,{\frac {d_{x}f}{dx}}={\frac {\partial f}{\partial x}}}$
Toplam türev	${\displaystyle {\frac {df}{dx}}\,{\overset {\underset {\mathrm {(1)} }{}}{=}}\,f'_{x}}$	${\displaystyle {\frac {df}{dx}}\,{\overset {\underset {\mathrm {(3)} }{}}{=}}\,f'_{x}+f'_{u}{\frac {du}{dx}}+f'_{v}{\frac {dv}{dx}};(f'_{y}{\frac {dy}{dx}}=0)}$

Aşağıdaki Goursat (1904 , I, §15), birden fazla bağımsız değişkenin fonksiyonları için,

${\displaystyle y=f(x_{1},\dots ,x_{n}),}$

Kısmi ayırıcı arasında y değişken herhangi birine göre  X ₁ değişikliği önemli bir kısmını oluşturan y bir değişiklikten kaynaklanan  dx ₁ olduğu bir değişken. Kısmi diferansiyel bu nedenle

${\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}dx_{1}}$

kapsayan kısmi türev ve y ile ilgili olarak  x ₁ . Tüm bağımsız değişkenlere göre kısmi diferansiyellerin toplamı, toplam diferansiyeldir

${\displaystyle dy={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}dx_{1}+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}dx_{n},}$

bağımsız değişkenler x _i'deki değişikliklerden kaynaklanan  y'deki değişimin temel kısmıdır .

Daha doğrusu, çok değişkenli analiz bağlamında, Courant'ı (1937b) takip ederek , f türevlenebilir bir fonksiyonsa, o zaman türevlenebilirlik tanımına göre , artış

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta y&{}{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}f(x_{1}+\Delta x_{1},\dots ,x_{n}+\Delta x_{n})-f(x_{1},\dots ,x_{n})\\&{}={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}\Delta x_{1}+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}\Delta x_{n}+\varepsilon _{1}\Delta x_{1}+\cdots +\varepsilon _{n}\Delta x_{n}\end{aligned}}}$

ε x _i artışları birlikte sıfıra meylettikçe, hata terimleri ε _i sıfıra meyillidir. Toplam diferansiyel daha sonra katı bir şekilde şu şekilde tanımlanır: 

${\displaystyle dy={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}\Delta x_{1}+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}\Delta x_{n}.}$

Çünkü bu tanımla,

${\displaystyle dx_{i}(\Delta x_{1},\dots ,\Delta x_{n})=\Delta x_{i},}$

birinde var

${\displaystyle dy={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}\,dx_{1}+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}\,dx_{n}.}$

Bir değişken durumunda olduğu gibi, yaklaşık kimlik geçerlidir

${\displaystyle dy\approx \Delta y}$

toplam hatanın, dikkatin yeterince küçük artışlarla sınırlandırılmasıyla ilgili olarak istendiği kadar küçük yapılabildiği .${\displaystyle {\sqrt {\Delta x_{1}^{2}+\cdots +\Delta x_{n}^{2}}}}$

Toplam farkın hata tahminine uygulanması [ değiştir ]

Ölçümünde, tam diferansiyel kullanılan hata tahmin Δ f bir fonksiyon f Δ hatalarına dayanarak X , Δ y ... parametrelerin x , y .... Değişimin yaklaşık olarak doğrusal olması için aralığın yeterince kısa olduğunu varsayarsak:

Δ f ( x ) = f ' ( x ) × Δ x

ve tüm değişkenler bağımsızdır, bu durumda tüm değişkenler için

${\displaystyle \Delta f=f_{x}\Delta x+f_{y}\Delta y+\cdots }$

Türev Bunun nedeni, ön _X özellikle parametreye göre X işlevi duyarlılığını veren f bir değişikliğe x , özellikle de hata Δ x . Bağımsız oldukları varsayıldığından, analiz en kötü durum senaryosunu tanımlar. Bileşen hatalarının mutlak değerleri kullanılır, çünkü basit hesaplamadan sonra türevin bir negatif işareti olabilir. Bu ilkeden, toplama, çarpma vb. Hata kuralları türetilir, örneğin:

F ( a , b ) = a × b olsun ;

Δ f = f _bir Δ bir + f _b Δ b ; türevlerin değerlendirilmesi

Δ f = b Δ bir + bir Δ b ; a × b olan f ile bölme

Δ f / f = Δ bir / bir + Δ b / b

Yani, çarpmada toplam göreli hata , parametrelerin göreli hatalarının toplamıdır.

Bunun dikkate alınan işleve nasıl bağlı olduğunu göstermek için, işlevin f ( a , b ) = a ln b olduğu durumu düşünün . Daha sonra, hata tahmininin olduğu hesaplanabilir.

Δ f / f = Δ bir / bir + Δ b / ( b ln b )

basit bir ürün durumunda bulunmayan fazladan bir ' ln b ' faktörü ile. Bu ek faktör, hatayı daha küçük yapma eğilimindedir, çünkü ln b , çıplak b kadar büyük değildir  .

Daha yüksek mertebeden farklılıklar [ düzenle ]

Tek değişkenli x'in bir y  =  f ( x ) fonksiyonunun daha yüksek mertebeden diferansiyelleri şu şekilde tanımlanabilir: ^[8]

${\displaystyle d^{2}y=d(dy)=d(f'(x)dx)=(df'(x))dx=f''(x)\,(dx)^{2},}$

ve genel olarak,

${\displaystyle d^{n}y=f^{(n)}(x)\,(dx)^{n}.}$

Gayri resmi olarak, bu Leibniz'in daha yüksek mertebeden türevler için gösterimini motive ediyor

${\displaystyle f^{(n)}(x)={\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}.}$

Bağımsız değişken x'in kendisinin diğer değişkenlere bağlı olmasına izin verildiğinde, ifade daha karmaşık hale gelir, çünkü x'in kendisinde daha yüksek dereceli diferansiyelleri de içermesi gerekir . Örneğin,

${\displaystyle {\begin{aligned}d^{2}y&=f''(x)\,(dx)^{2}+f'(x)d^{2}x\\d^{3}y&=f'''(x)\,(dx)^{3}+3f''(x)dx\,d^{2}x+f'(x)d^{3}x\end{aligned}}}$

ve benzeri.

Benzer değerlendirmeler, çeşitli değişkenlerin fonksiyonlarının yüksek dereceli diferansiyellerini tanımlamak için de geçerlidir. Örneğin, f , x ve y iki değişkenli bir fonksiyonsa , o zaman

${\displaystyle d^{n}f=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {\partial ^{n}f}{\partial x^{k}\partial y^{n-k}}}(dx)^{k}(dy)^{n-k},}$

nerede bir olduğunu binom katsayısı . Daha fazla değişkende, analog bir ifade geçerlidir, ancak iki terimli genişletme yerine uygun bir çok terimli genişleme ile. ^[9]${\textstyle {\binom {n}{k}}}$

Bağımsız değişkenlerin kendilerinin diğer değişkenlere bağımlı olmasına izin verildiğinde, çeşitli değişkenlerdeki yüksek dereceli farklar da daha karmaşık hale gelir. Örneğin, bir işlev için f ve x ve y yardımcı değişkenlere bağlı izin verilir, bir yer alır

${\displaystyle d^{2}f=\left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}(dx)^{2}+2{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}dx\,dy+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}(dy)^{2}\right)+{\frac {\partial f}{\partial x}}d^{2}x+{\frac {\partial f}{\partial y}}d^{2}y.}$

Bu notasyonel hatasızlık nedeniyle, daha yüksek mertebeden farklılıkların kullanılması Hadamard 1935 tarafından şiddetle eleştirildi ve şu sonuca varıldı:

Enfin, que signifie ou que représente l'égalité

${\displaystyle d^{2}z=r\,dx^{2}+2s\,dx\,dy+t\,dy^{2}\,?}$

Bir mon avis, rien du tout.

Yani: Son olarak, eşitlik [...] ile neyi kastediyor veya temsil ediyor? Bence hiçbir şey yok. Bu şüpheciliğe rağmen, yüksek mertebeden farklılıklar analizde önemli bir araç olarak ortaya çıktı. ^[10]

Bu bağlamlarda, incre x artışına uygulanan f fonksiyonunun n .

${\displaystyle d^{n}f(x,\Delta x)=\left.{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}f(x+t\Delta x)\right|_{t=0}}$

veya eşdeğer bir ifade, örneğin

${\displaystyle \lim _{t\to 0}{\frac {\Delta _{t\Delta x}^{n}f}{t^{n}}}}$

burada bir bir n- inci ileri fark artışı ile t Δ x .${\displaystyle \Delta _{t\Delta x}^{n}f}$

Bu tanım, f birkaç değişkenli bir fonksiyonsa da anlamlıdır (basitlik için burada vektör argümanı olarak alınmıştır). Daha sonra , n , bu şekilde tanımlanan inci diferansiyel a, homojen bir fonksiyonu derecesi n vektörü artışı Δ içinde X . Bundan başka, Taylor serisi arasında f noktasında x ile verilir

${\displaystyle f(x+\Delta x)\sim f(x)+df(x,\Delta x)+{\frac {1}{2}}d^{2}f(x,\Delta x)+\cdots +{\frac {1}{n!}}d^{n}f(x,\Delta x)+\cdots }$

Daha yüksek mertebeden Gateaux türevi, bu düşünceleri sonsuz boyutlu uzaylara genelleştirir.

Özellikler [ düzenle ]

Diferansiyelin bir dizi özelliği, türevin, kısmi türevin ve toplam türevin karşılık gelen özelliklerinden açık bir şekilde takip eder. Bunlar şunları içerir: ^[11]

• Doğrusallık : a ve b sabitleri ve türevlenebilir f ve g fonksiyonları için ,

${\displaystyle d(af+bg)=a\,df+b\,dg.}$

• Çarpım kuralı : Türevlenebilir iki f ve g işlevi için ,

${\displaystyle d(fg)=f\,dg+g\,df.}$

Bu iki özelliğe sahip bir işlem d , soyut cebirde bir türev olarak bilinir . Güç kuralını ima ediyorlar

${\displaystyle d(f^{n})=nf^{n-1}df}$

Buna ek olarak, zincir kuralının çeşitli biçimleri , genellik düzeyinin artmasında geçerlidir: ^[12]

• Eğer y  =  f ( u ) değişken bir türevlenebilir fonksiyonudur U ve U  =  g ( x ) 'in bir türevlenebilir fonksiyonudur x , daha sonra

${\displaystyle dy=f'(u)\,du=f'(g(x))g'(x)\,dx.}$

• Eğer y = f ( x ₁ , ..., x _{, n} ) ve tüm değişkenler  X ₁ , ...,  x _{, n} bir değişken bağlıdır  t ile, daha sonra kısmi türev için zincir kuralı , bir yer alır

${\displaystyle {\begin{aligned}dy&={\frac {dy}{dt}}dt\\&={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}dx_{1}+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}dx_{n}\\&={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}{\frac {dx_{1}}{dt}}\,dt+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}{\frac {dx_{n}}{dt}}\,dt.\end{aligned}}}$

Sezgisel olarak, birkaç değişken için zincir kuralı, bu denklemin her iki tarafından sonsuz küçük dt miktarına bölünerek anlaşılabilir .

• Ara değişkenler x _i'nin birden fazla değişkene bağlı olduğu daha genel analog ifadeler geçerlidir .

Genel formülasyon [ değiştir ]

İki Öklid uzayı arasında bir f  : R ⁿ → R ^m fonksiyonu için tutarlı bir diferansiyel kavramı geliştirilebilir . Let X , Δ x  ∈  R, ^n, bir çift olarak Öklid vektörler . Fonksiyon artış f olduğu

${\displaystyle \Delta f=f(\mathbf {x} +\Delta \mathbf {x} )-f(\mathbf {x} ).}$

Böyle bir m  ×  n matrisi A varsa

${\displaystyle \Delta f=A\Delta \mathbf {x} +\|\Delta \mathbf {x} \|{\boldsymbol {\varepsilon }}}$

burada vektör, s  → 0 ö x  → 0 olduğunda, f noktasında tanım türevlenebilir gereğidir x . A matrisi bazen Jacobian matrisi olarak bilinir ve A Δ x  ∈  R ^m vektöründeki Δ x  ∈  R ⁿ artışıyla ilişkilendirilen doğrusal dönüşüm , bu genel ayarda f'nin diferansiyel df ( x ) olarak bilinir . x noktasında . Bu tam olarak Fréchet türevidirve aynı yapı herhangi bir Banach alanı arasında bir işlev için çalışacak şekilde yapılabilir .

Bir başka verimli bakış açısı, farklılığı doğrudan bir tür yönlü türev olarak tanımlamaktır :

${\displaystyle df(\mathbf {x} ,\mathbf {h} )=\lim _{t\to 0}{\frac {f(\mathbf {x} +t\mathbf {h} )-f(\mathbf {x} )}{t}}=\left.{\frac {d}{dt}}f(\mathbf {x} +t\mathbf {h} )\right|_{t=0},}$

Bu, daha yüksek mertebeden farklılıkları tanımlamak için halihazırda uygulanan yaklaşımdır (ve en çok Cauchy tarafından ortaya konan tanıma en yakın) Eğer t zamanı ve x konumunu temsil ediyorsa , o zaman h şimdiye kadar düşündüğümüz gibi bir yer değiştirme yerine bir hızı temsil eder. Bu, diferansiyel kavramının bir başka incelikini verir: kinematik hızın doğrusal bir fonksiyonu olması gerekir. Belirli bir uzay noktasından geçen tüm hızların kümesi teğet uzay olarak bilinir ve bu nedenle df teğet uzayda doğrusal bir fonksiyon verir: diferansiyel bir form . Bu yorumla, f'nin diferansiyeli , dış türev olarak bilinir.ve diferansiyel geometride geniş bir uygulama alanına sahiptir, çünkü hızlar ve teğet uzayı kavramı herhangi bir türevlenebilir manifold üzerinde anlamlıdır . Ek olarak, f'nin çıktı değeri de bir konumu (Öklid uzayında) temsil ediyorsa, boyutsal bir analiz, df'nin çıktı değerinin bir hız olması gerektiğini doğrular . Eğer diferansiyel bu şekilde ele alınırsa, hızları bir kaynak uzaydan bir hedef uzaydaki hızlara "ittiği" için ileri itme olarak bilinir .

Diğer yaklaşımlar [ düzenle ]

Sonsuz küçük dx artışına sahip olma kavramı modern matematiksel analizde iyi tanımlanmamasına rağmen , sonsuz küçük diferansiyeli tanımlamak için çeşitli teknikler mevcuttur, böylece bir fonksiyonun diferansiyeli Leibniz gösterimi ile çakışmayacak şekilde ele alınabilir. . Bunlar şunları içerir:

• Diferansiyelin bir tür diferansiyel form , özellikle bir fonksiyonun dış türevi olarak tanımlanması. Sonsuz küçük artışlar daha sonra bir noktada teğet uzayda vektörlerle tanımlanır . Bu yaklaşım diferansiyel geometride ve ilgili alanlarda popülerdir , çünkü türevlenebilir manifoldlar arasındaki eşleştirmelere kolayca genelleme yapar .
• Değişmeli halkaların üstelsıfır elemanları olarak diferansiyeller . Bu yaklaşım cebirsel geometride popülerdir . ^[13]
• Düzgün küme teorisindeki farklılıklar. Bu yaklaşım, sentetik diferansiyel geometri veya pürüzsüz sonsuz küçük analiz olarak bilinir ve cebirsel geometrik yaklaşımla yakından ilgilidir, ancak topos teorisinden gelen fikirlerin üstelsıfır sonsuz küçüklerin tanıtıldığı mekanizmaları gizlemek için kullanılması dışında . ^[14]
• Tersine çevrilemeyen sonsuz küçükler ve sonsuz büyük sayılar içeren gerçek sayıların uzantıları olan hipergerçek sayı sistemlerinde sonsuz küçükler olarak diferansiyeller . Bu, Abraham Robinson'un öncülüğünü yaptığı standart dışı analiz yaklaşımıdır . ^[15]

Örnekler ve uygulamalar [ düzenle ]

Diferansiyeller, bir hesaplamadaki deneysel hataların yayılmasını ve dolayısıyla bir problemin genel sayısal kararlılığını incelemek için sayısal analizde etkili bir şekilde kullanılabilir ( Courant 1937a ). X değişkeninin bir deneyin sonucunu temsil ettiğini ve y'nin x'e uygulanan sayısal bir hesaplamanın sonucu olduğunu varsayalım . Soru, x'in ölçümündeki hataların y hesaplamasının sonucunu ne ölçüde etkilediğidir . Eğer x Δ içinde bilinmektedir x gerçek değerinin, sonra Taylor teoremi hatası aşağıdaki tahminini verir Δy hesaplamasında y :

${\displaystyle \Delta y=f'(x)\Delta x+{\frac {(\Delta x)^{2}}{2}}f''(\xi )}$

burada ξ = x + θ Δ x bazı 0 < θ <1 için . Eğer Δ x küçükse, ikinci dereceden terim ihmal edilebilir, bu yüzden pratik amaçlar için Δ y dy = f ' ( x ) Δ x ile iyi bir şekilde yakınlaşır .

Diferansiyel, genellikle bir diferansiyel denklemi yeniden yazmak için kullanışlıdır

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=g(x)}$

şeklinde

${\displaystyle dy=g(x)\,dx,}$

özellikle değişkenleri ayırmak istediğinde .

Notlar [ düzenle ]

Referanslar [ düzenle ]

• Boyer, Carl B. (1959), Kalkülüsün tarihi ve kavramsal gelişimi , New York: Dover Yayınları , MR  0124178.
• Cauchy, Augustin-Louis (1823), Résumé des Leçons données à l'Ecole royale polytechnique sur les applications du calcul infinitésimal , 2009-05-04 tarihinde orjinalinden arşivlendi , 2009-08-19'dan alındı.
• Courant, Richard (1937a), Diferansiyel ve integral hesabı. Cilt I , Wiley Classics Library, New York: John Wiley & Sons (1988 yayınlandı), ISBN 978-0-471-60842-4, MR  1009558.
• Courant, Richard (1937b), Diferansiyel ve integral hesabı. Cilt II , Wiley Classics Library, New York: John Wiley & Sons (1988 yayınlandı), ISBN 978-0-471-60840-0, MR  1009559.
• Courant, Richard ; John, Fritz (1999), Kalkülüs ve Analiz Cilt 1'e Giriş, Matematikte Klasikler, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 3-540-65058-X, MR  1746554
• Eisenbud, David ; Harris, Joe (1998), Şemaların Geometrisi , Springer-Verlag, ISBN 0-387-98637-5.
• Fréchet, Maurice (1925), "La nantion de différentielle dans l'analyse générale", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , Série 3, 42 : 293–323, ISSN  0012-9593 , MR  1509268.
• Goursat, Édouard (1904), Matematiksel analizde bir ders: Cilt 1: Türevler ve diferansiyeller, belirli integraller, serilerde açılım, geometriye uygulamalar , ER Hedrick, New York: Dover Yayınları (1959'da yayınlandı), MR  0106155.
• Hadamard, Jacques (1935), "La nosyon de différentiel dans l'enseignement", Mathematical Gazette , XIX (236): 341–342, JSTOR  3606323.
• Hardy, Godfrey Harold (1908), Bir Saf Matematik Kursu , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-09227-2.
• Hille, Einar ; Phillips, Ralph S. (1974), Fonksiyonel analiz ve yarı gruplar , Providence, RI: American Mathematical Society , MR  0423094.
• Itô, Kiyosi (1993), Encyclopedic Dictionary of Mathematics (2. baskı), MIT Press , ISBN 978-0-262-59020-4.
• Kline, Morris (1977), "Bölüm 13: Farklılıklar ve ortalamanın yasası", Matematik: Sezgisel ve fiziksel bir yaklaşım , John Wiley and Sons.
• Kline, Morris (1972), Antik çağlardan modern zamanlara matematiksel düşünce (3. baskı), Oxford University Press (1990'da yayınlandı), ISBN 978-0-19-506136-9
• Keisler, H.Jerome (1986), Elementary Calculus: An Infinitesimal Approach (2nd ed.).
• Kock, Anders (2006), Sentetik Diferansiyel Geometri (PDF) (2. baskı), Cambridge University Press.
• Moerdijk, I .; Reyes, GE (1991), Düzgün Sonsuz Küçük Analiz Modelleri , Springer-Verlag.
• Robinson, Abraham (1996), Standart dışı analiz , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-04490-3.
• Tolstov, GP (2001) [1994], "Diferansiyel" , Matematik Ansiklopedisi , EMS Press.

Dış bağlantılar [ düzenle ]

• Wolfram Gösteriler Projesinde Bir Fonksiyonun Farklılığı