Diyagonal

Kenar uzunluğu 1 olan bir küpün köşegenleri. AC '(mavi ile gösterilmiştir), uzunluğu olan köşegen bir boşluk iken, AC (kırmızı ile gösterilmiştir) bir çapraz yüzdür ve uzunluğa sahiptir .${\ displaystyle {\ sqrt {3}}}$${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$

İn geometrisi , bir çapraz a, çizgi parçası , iki birleştirme köşe a çokgen ya da çok yüzeyli , bu köşe aynı olmayan zaman, kenar . Gayri resmi olarak, herhangi bir eğimli çizgiye diyagonal denir. Kelimesinin diyagonal türetilmiştir eski Yunan διαγώνιος Diagonios , ^[1] "açısına açısı" (διά- gelen kutularının "enine" ve γωνία, "ila", Gonia ilgili, "açı", GONY "diz");hem Strabo ^[2] hem de Öklid ^{[3] tarafından kullanıldı}bir, iki köşe bağlayan bir hat atıfta eşkenar dörtgen veya küboid , ^[4] ve daha geç Latince kabul diagonus ( "hat meyilli").

Olarak matris cebir , bir kare, bir köşegen matris bir köşesinden en uzak köşeye uzanan girdilerinin bir kümesidir.

Matematiksel olmayan başka kullanımlar da vardır.

Matematiksel olmayan kullanımlar [ düzenle ]

Olarak mühendislik , bir diyagonal destek (örneğin dikdörtgen bir yapıya karşı gerilmesi için kullanılan kiriştir iskele içine iterek güçlü etkilere karşı koymak için); diyagonal olarak adlandırılmasına rağmen, pratik hususlar nedeniyle köşegen parantezler genellikle dikdörtgenin köşelerine bağlanmaz.

Köşegen penseler , çenelerin kesici kenarları tarafından tanımlanan tel kesme penseleridir ve eklem perçini belirli bir açıyla veya "köşegen üzerinde" keser.

Bir çapraz bağlama birbirine çok dört halat bir açıda direkler üzerinde çapraz ki, uygulanan bağlama direkler veya direk için kullanılan kargo bağlama türüdür.

Olarak ilişki futbol , çapraz kontrol sistemi yöntemi hakemler ve yardımcı hakemler zift dört bölümün bir kendilerini konumlandırmak için kullanılır.

Çokgenler [ düzenle ]

Bir çokgene uygulandığında , köşegen, ardışık olmayan herhangi iki köşeyi birleştiren bir çizgi parçasıdır . Bu nedenle, bir dörtgenin karşılıklı köşe çiftlerini birleştiren iki köşegeni vardır. Herhangi bir dışbükey çokgen için , tüm köşegenler çokgenin içindedir, ancak yeniden giren çokgenler için bazı köşegenler çokgenin dışındadır.

Herhangi bir n- kenarlı çokgen ( n ≥ 3), dışbükey veya içbükey , köşegenlere sahiptir , çünkü her köşe, kendisi ve iki bitişik köşe veya n  - 3 köşegen hariç diğer tüm köşelere köşegenlere sahiptir ve her köşegen iki köşe tarafından paylaşılır.${\ displaystyle {\ tfrac {n (n-3)} {2}}}$

Köşegenlerin oluşturduğu bölgeler [ değiştir ]

Bir içinde konveks çokgen bir üç çaprazlar ise, eş zamanlı iç bir noktada, bölgelerin sayısı köşegeni ile verilmektedir iç, bölmek

${\displaystyle {\binom {n}{4}}+{\binom {n-1}{2}}={\frac {(n-1)(n-2)(n^{2}-3n+12)}{24}}.}$

İçin N ile -gons n = 3, 4, ... bölgelerin sayısıdır ^[5]

1, 4, 11, 25, 50, 91, 154, 246 ...

Bu OEIS dizisi A006522. ^[6]

Köşegenlerin kesişimleri [ değiştir ]

İç kısımdaki bir noktada dışbükey bir çokgenin üç köşegeni eşzamanlı değilse, köşegenlerin iç kesişimlerinin sayısı ile verilir . ^{[7] [8]} Bu, örneğin tek sayıda kenarı olan herhangi bir normal çokgen için geçerlidir . Formül, her kesişimin, kesişen iki köşegenin dört uç noktası tarafından benzersiz bir şekilde belirlendiği gerçeğinden hareketle gelir: kesişimlerin sayısı, bu nedenle, bir seferde dördüncü n köşenin kombinasyonlarının sayısıdır .${\displaystyle {\binom {n}{4}}}$

Normal çokgenler [ düzenle ]

Bir üçgen hiçbir diyagonallerini vardır.

Bir kare , karenin merkezinde kesişen eşit uzunlukta iki köşegene sahiptir. Köşegenin bir kenara oranı şöyledir:${\displaystyle {\sqrt {2}}\approx 1.414.}$

Bir düzenli beşgen hepsi aynı uzunlukta beş diyagonallerini sahiptir. Köşegenin bir kenara oranı altın orandır ,${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1.618.}$

Normal bir altıgenin dokuz köşegeni vardır: altı kısa olanın uzunluğu birbirine eşittir; uzun üçü birbirine eşit uzunluktadır ve altıgenin merkezinde birbiriyle kesişir. Uzun bir köşegenin bir kenara oranı 2'dir ve kısa bir köşegenin bir kenara oranıdır .${\displaystyle {\sqrt {3}}}$

Normal bir yedigenin 14 köşegeni vardır. Kısa olan yedi birbirine eşittir ve daha uzun olan yedi eşittir. Kenarın tersi, bir kısa ve bir uzun köşegenin karşılıklılarının toplamına eşittir.

Herhangi bir normal ise n ile -gon n bile, Çokgenin merkezinde birbirine kesiştiği uzun köşegeni bütün.

Çokyüzlüler [ değiştir ]

Bir çok yüzlü (bir katı nesne içinde üç boyutlu uzayda ile sınırlanan, iki boyutlu yüzleri : İki farklı köşegenleri türleri olabilir) yüz diyagonalleri aynı yüzü üzerinde komşu olmayan köşe bağlantı çeşitli yüzlerinde; ve boşluk köşegenleri , tamamen polihedronun içinde (köşelerdeki uç noktalar hariç).

Bir üçgenin köşegenleri olmadığı gibi , bir dörtyüzlü de (dört üçgen yüzlü) hiçbir yüz köşegenine ve boşluk köşegenine sahip değildir.

Bir küboid altı yüzün her birinde iki köşegene ve dört boşluk köşegenine sahiptir.

Matrisler [ düzenle ]

Kare matris durumunda , ana veya ana köşegen , sol üst köşeden sağ alt köşeye uzanan çapraz giriş çizgisidir. ^{[9] [10] [11]} bir matris için belirtilen satır indeksi ile ve belirtilen sütun indeksi şu olacaktır girdileri ile . Örneğin, kimlik matrisi , ana köşegende 1 girişleri ve başka yerlerde sıfırlar olarak tanımlanabilir:${\displaystyle A}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle A_{ij}}$${\displaystyle i=j}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}}$

Sağ üst-alt-sol diyagonal, bazen küçük diyagonal veya antidiagonal olarak tanımlanır . Çapraz kapatma girişleri ana Diagonal'da olanlar değildir. Bir köşegen matris olan dışı köşegen girişleri her sıfırdır biridir. ^{[12] [13]}

Bir superdiagonal girişi doğrudan üstünde ve ana Diagonal'in sağında biridir. ^{[14] [15]} Çapraz girişler ile olanlar gibi , süper köşegen girişler olanlardır . Örneğin, aşağıdaki matrisin sıfır olmayan girişlerinin tümü süper köşegende yer alır:${\displaystyle A_{ij}}$${\displaystyle j=i}$${\displaystyle j=i+1}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&2&0\\0&0&3\\0&0&0\end{pmatrix}}}$

Benzer şekilde, bir subdiagonal giriş hemen altında ve bir giriştir, ana diyagonal, sol için biri ile . ^[16] Genel matris köşegenleri , ana köşegene göre ölçülen bir indeksle belirtilebilir : ana köşegen ; süper diyagonal vardır ; alt köşegen vardır ; ve genel olarak, köşegen ile girişlerden oluşur .${\displaystyle A_{ij}}$${\displaystyle j=i-1}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k=0}$${\displaystyle k=1}$${\displaystyle k=-1}$${\displaystyle k}$${\displaystyle A_{ij}}$${\displaystyle j=i+k}$

Geometri [ düzenle ]

Benzer şekilde, bir alt-kümesi içinde Kartezyen ürün X x x herhangi bir grubu bir X çiftleri (x, x) 'dan oluşan kendisi ile, çapraz denir ve bir grafik bir eşitlik ilişkisi ile ilgili X eşit ya da grafik arasında kimlik fonksiyonu ile ilgili X için x . Bu, geometride önemli bir rol oynar; Örneğin, sabit noktalar a eşleme F adlı X kendisine ait grafik kesişen elde edilebilir F diyagonal ile.

Geometrik çalışmalarda, köşegenin kendisiyle kesişme fikri yaygındır, doğrudan değil, onu bir eşdeğerlik sınıfı içinde bozarak . Bu, Euler karakteristiği ve vektör alanlarının sıfırları ile derin bir düzeyde ilişkilidir . Örneğin, daire S ¹ sahiptir Betti sayıları 1, 1, 0, 0, 0, ve bu ifade, bu nedenle Euler karakteristiği 0 geometrik bir şekilde iki diyagonal bakmaktır simit S ¹ Xs ¹ ve gözlemleyin kendi kendine hareket edebilirküçük hareketle (θ, θ) - (θ, θ + ε). Genel olarak, bir fonksiyonun grafiğinin köşegen ile kesişme sayısı, Lefschetz sabit nokta teoremi aracılığıyla homoloji kullanılarak hesaplanabilir ; köşegenin kendisiyle kesişmesi, özdeşlik işlevinin özel durumudur.

Ayrıca bkz. [ Düzenle ]

• Ürdün normal formu
• Ana çapraz
• Çapraz functor

Notlar [ düzenle ]

Referanslar [ düzenle ]

• Bronson, Richard (1970), Matrix Methods: An Introduction , New York: Academic Press , LCCN  70097490
• Cullen, Charles G. (1966), Matrisler ve Doğrusal Dönüşümler , Okuma: Addison-Wesley , LCCN  66021267
• Herstein, IN (1964), Cebirdeki Konular , Waltham: Blaisdell Publishing Company , ISBN 978-1114541016
• Nering, Evar D. (1970), Doğrusal Cebir ve Matris Teorisi (2. baskı), New York: Wiley , LCCN  76091646

Dış bağlantılar [ düzenle ]

Ücretsiz sözlük olan Vikisözlük'te köşegenleri arayın .

• Etkileşimli animasyonlu bir çokgenin köşegenleri
• Poligon diyagonal gelen MathWorld .
• Diyagonal bir matris MathWorld .