Konik kesit

Konik kesit türleri:
1: Daire        2: Elips
3: Parabol  4: Hiperbol

Konik tablosu, Cyclopaedia , 1728

Gelen matematik , bir konik bölüm (ya da sadece konik ) a, eğri kesişimi olarak elde edilen yüzey , bir ait koni bir ile düzlem . Üç tür konik bölüm hiperbol , parabol ve elipstir ; daire tarihsel bazen dördüncü türü olarak adlandırılan da, elipsin özel bir durumdur. Antik Yunan matematikçiler konik kesitleri incelediler ve MÖ 200 civarında Perga'lı Apollonius'un özellikleriyle ilgili sistematik çalışmasıyla sonuçlandı .

Öklid düzlemindeki konik bölümler , birçoğu alternatif tanımlar olarak kullanılabilen çeşitli ayırt edici özelliklere sahiptir. Bu gibi bir özellik, konik dairesel olmayan tanımlar ^[1] için grubu olarak adlandırılan bazı belirli bir noktaya göre mesafeleri bu sayı, bir odak noktası olarak adlandırılan ve bazı özel hat, doğrultman adlandırılan sabit bir oranda olup, eksantriklik . Konik tipi, eksantrikliğin değerine göre belirlenir. Olarak analitik geometri , bir konik bir şekilde tanımlanabilir düzlemi cebirsel eğrisinin derecesi 2; yani koordinatları ikinci dereceden bir denklemi sağlayan noktalar kümesi olarakmatris biçiminde yazılabilen iki değişken halinde. Bu denklem, konik bölümlerin geometrik özelliklerinin cebirsel olarak çıkarılmasına ve ifade edilmesine izin verir.

Öklid düzleminde, üç tür konik bölüm oldukça farklı görünür, ancak birçok özelliği paylaşır. Öklid düzlemini sonsuzda bir çizgi içerecek şekilde genişleterek, yansıtmalı bir düzlem elde ederek , görünen fark ortadan kalkar: bir hiperbolün dalları sonsuzda iki noktada buluşarak onu tek bir kapalı eğri haline getirir; ve bir parabolün iki ucu, onu sonsuzdaki çizgiye teğet olan kapalı bir eğri yapmak için buluşur. Daha fazla uzantı, gerçek koordinatları karmaşık koordinatları kabul edecek şekilde genişleterek, bu birleşmeyi cebirsel olarak görmenin yollarını sağlar.

Öklid geometrisi

Konik bölümler binlerce yıldır incelenmiştir ve Öklid geometrisinde zengin bir ilginç ve güzel sonuç kaynağı sağlamıştır .

Tanım

Bir konik bir kesişme olarak elde eğri düzlem olarak adlandırılan, kesme düzlemi çift yüzeyi ile, koni (iki olan bir koni naplar ). Kolay açıklama amacıyla koninin genellikle dik dairesel bir koni olduğu varsayılır, ancak bu gerekli değildir; Bazı dairesel enine kesite sahip herhangi bir çift koni yeterli olacaktır. Koninin tepe noktasından geçen düzlemler koniyi bir noktada, bir çizgide veya bir çift kesişen çizgide keser. Bunlara dejenere konikler denir ve bazı yazarlar bunların konik olduğunu hiç düşünmezler. Aksi belirtilmedikçe, bu makaledeki "konik", dejenere olmayan bir koniğe atıfta bulunacaktır.

Üç tür konik vardır: elips , parabol ve hiperbol . Daire tarihsel Apollonius'u dördüncü türü olarak düşünülmesine rağmen, elipsin özel bir türüdür. Elipsler, koni ve düzlemin kesişimi kapalı bir eğri olduğunda ortaya çıkar . Daire, kesme düzlemi koninin oluşturucu dairesinin düzlemine paralel olduğunda elde edilir; sağ koni için bu, kesme düzleminin eksene dik olduğu anlamına gelir. Kesme düzlemi ise paralel koni tam olarak bir üretim hattı, daha sonra konik sınırsız ve bir adlandırılır parabol . Kalan durumda, şekil bir hiperbol: düzlem , iki ayrı sınırsız eğri üreterek koninin her iki yarısını da keser .

Eksantriklik, odaklanma ve yönelim

Alternatif olarak, tek bir düzlem geometrik olarak saf bir konik bölüm tanımlayabiliriz: bir lokus tüm noktaları P olan mesafesi sabit bir noktaya F (denilen odaklama ) (denilen sabit bir katı olan eksantriklik e mesafenin) P sabit bir L çizgisine ( directrix denir ). İçin 0 < e <1 biz, bir elips elde e = 1 , bir parabol ve için e > 1 bir hiperbol.

Daire, sınırlayıcı bir durumdur ve Öklid düzleminde bir odak ve yönerge ile tanımlanmaz. Bir çemberin eksantrikliği sıfır olarak tanımlanır ve odak noktası çemberin merkezidir, ancak onun doğrultusu yalnızca yansıtmalı düzlemde sonsuzdaki çizgi olarak alınabilir. ^[2]

Bir elipsin eksantrikliği, elipsin dairesel olmaktan ne kadar saptığının bir ölçüsü olarak görülebilir. ^{[3] : 844}

Koninin yüzeyi ile ekseni arasındaki açı ve kesme düzlemi ile eksen arasındaki açı ise eksantriklik ^[4]${\ displaystyle \ beta}$${\ displaystyle \ alpha,}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ cos \ alpha} {\ cos \ beta}}.}$

Focus-directrix özelliği ile tanımlanan yukarıdaki eğrilerin, bir koniyi kesen düzlemlerle elde edilenlerle aynı olduğunun bir kanıtı , Dandelin kürelerinin kullanılmasıyla kolaylaştırılır . ^[5]

Konik parametreler

Eksantriklik ( e ), odaklar ve direkse ek olarak, çeşitli geometrik özellikler ve uzunluklar bir konik bölümle ilişkilendirilir.

Ana ekseni , bir elips ya da hiperbol odağını birleştiren çizgi ve bunun orta noktası eğrinin bir merkezi . Bir parabolün merkezi yoktur.

Doğrusal dış ( c ) merkezi ve odak arasındaki mesafedir.

Latus makat olduğu akor Doğrultmanı ile odaklanarak geçerek paralel; yarı uzunluğu yarı latus rektumdur ( ℓ ).

Odak parametresi ( s ), karşılık gelen doğrultman bir odak mesafedir.

Ana eksen bir elips uzun kiriş, bir hiperbol dalları arasındaki en kısa kiriş: iki köşe arasındaki kirişidir. Yarı uzunluğu yarı büyük eksendir ( a ). Bir elips veya hiperbol, aşağıdaki denklemlerde olduğu gibi standart konumda olduğunda, odaklar x ekseninde ve merkezde merkezde olduğunda, koninin köşeleri (- a , 0) ve ( a , 0) koordinatlarına sahiptir . negatif olmayan.

Küçük ekseni , bir elipsin en kısa çapı, ve yarım boy yarı küçük eksen (olup b ), aynı değeri b , aşağıdaki eşitlikte olarak. Benzetme yapmak gerekirse, bir hiperbol için standart denklemdeki b parametresini de yarı küçük eksen olarak adlandırıyoruz.

Aşağıdaki ilişkiler geçerlidir: ^[6]

• ${\ displaystyle \ \ ell = pe}$
• ${\ displaystyle \ c = ae}$
• ${\ displaystyle \ p + c = {\ frac {a} {e}}}$

Standart pozisyondaki konikler için bu parametreler aşağıdaki değerlere sahiptir .${\ displaystyle a, b> 0}$

konik kesit	denklem	eksantriklik ( e )	doğrusal eksantriklik ( c )	yarı latus rektum ( ℓ )	odak parametresi ( p )
daire	${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = a ^ {2} \,}$	${\ displaystyle 0 \,}$	${\ displaystyle 0 \,}$	${\ displaystyle a \,}$	${\ displaystyle \ infty}$
elips	${\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1}$	${\ displaystyle {\ sqrt {1 - {\ frac {b ^ {2}} {a ^ {2}}}}}}$	${\ displaystyle {\ sqrt {a ^ {2} -b ^ {2}}}}$	${\ displaystyle {\ frac {b ^ {2}} {a}}}$	${\ displaystyle {\ frac {b ^ {2}} {\ sqrt {a ^ {2} -b ^ {2}}}}}$
parabol	${\ displaystyle y ^ {2} = 4ax \,}$	${\ displaystyle 1 \,}$	Yok	${\ displaystyle 2a \,}$	${\ displaystyle 2a \,}$
hiperbol	${\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} - {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1}$	${\displaystyle {\sqrt {1+{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$	${\displaystyle {\frac {b^{2}}{a}}}$	${\displaystyle {\frac {b^{2}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}$

Kartezyen koordinatlarda standart formlar

Kartezyen koordinatları tanıttıktan sonra , odak-yönelim özelliği, konik bölümün noktalarının sağladığı denklemleri üretmek için kullanılabilir. ^[7] Koordinatların değiştirilmesi yoluyla ( eksenlerin dönüşü ve ötelenmesi ) bu denklemler standart formlara dönüştürülebilir . ^[8] Elipsler ve hiperboller için standart bir form x eksenini ana eksen olarak ve orijini (0,0) merkez olarak alır. Köşeler (± a , 0) ve odaklardır (± c , 0) . Tanımlar b denklemlerle c ² = bir ²- elips için b ² ve hiperbol için c ² = a ² + b ² . Bir daire için, c = 0 yani a ² = b ² . Parabol için, standart form ( a , 0) noktasındaki x eksenine odaklanır ve x = - a denklemine sahip doğruyu doğrusallaştırır . Standart formda, parabol her zaman başlangıç ​​noktasından geçecektir.

Bir için dikdörtgen ya da ikizkenar hiperbol olan asimtotları dik olan bir, asimptotlar koordinat eksenleri ve hat olduğu alternatif bir standart form olup X = Y ana eksendir. Odaklar daha sonra ( c , c ) ve (- c , - c ) koordinatlarına sahiptir . ^[9]

• Daire: x ² + y ² = a ²
• Elips: x ²/bir ² + y ²/b ² = 1
• Parabol: y ² = 4 ax ve a > 0
• Hiperbol: x ²/bir ² - y ²/b ² = 1
• Dikdörtgen hiperbol: ^[10] xy =c ²/2

Bu formların ilk dördü, hem x ekseni hem de y ekseni (daire, elips ve hiperbol için) veya yalnızca x ekseni (parabol için) etrafında simetriktir . Dikdörtgen hiperbol, bunun yerine y = x ve y = - x doğruları etrafında simetriktir .

Bu standart formlar parametrik olarak şu şekilde yazılabilir:

• Daire : ( bir cos θ , bir günah θ ) ,
• Elips : ( a cos θ , b sin θ ) ,
• Parabol : ( az ² , 2 de ) ,
• Hiperbol : ( a sec θ , b tan θ ) veya (± a cosh u , b sinh u ) ,
• Dikdörtgen hiperbol : nerede${\displaystyle (dt,{\frac {d}{t}})}$${\displaystyle d={\frac {c}{\sqrt {2}}}.}$

Genel Kartezyen formu

Gelen Kartezyen koordinat sistemi , grafik a kuadratik denklemi (o olabilir ancak iki değişken bir konik bölüm her zaman dejenere ^[11] ), ve konik bölümleri bu şekilde ortaya çıkar. En genel denklem ^[12] biçimindedir

${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0,}$

tüm katsayılarla gerçek sayılar ve A, B, C hepsi sıfır değil.

Matris gösterimi

Yukarıdaki denklem matris gösteriminde şu şekilde yazılabilir: ^[13]

${\displaystyle \left({\begin{matrix}x&y\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}A&B/2\\B/2&C\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}x\\y\end{matrix}}\right)+\left({\begin{matrix}D&E\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}x\\y\end{matrix}}\right)+F=0.}$

Genel denklem şu şekilde de yazılabilir:

${\displaystyle \left({\begin{matrix}x&y&1\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}A&B/2&D/2\\B/2&C&E/2\\D/2&E/2&F\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}x\\y\\1\end{matrix}}\right)=0.}$

Bu form, daha genel projektif geometri ortamında kullanılan homojen formun bir uzmanlığıdır (aşağıya bakınız ).

Ayrımcı

Bu denklem ile tarif edilen konik kesitler değeri açısından sınıflandırılabilir olarak adlandırılan, ayırt edici denklemi. ^[14] Bu nedenle, ayırma olduğu - 4Δ Æ olan matris belirleyici${\displaystyle B^{2}-4AC}$ ${\displaystyle \left|{\begin{matrix}A&B/2\\B/2&C\end{matrix}}\right|.}$

Konik dejenere değilse , o zaman: ^[15]

• Eğer B ² - 4 AC <0 , denklemi temsil elips ;
  • Eğer bir = C ve B = 0 , denklem temsil daire , bir elips özel bir durumdur;
• Eğer B ² - 4 AC = 0 , denklem temsil parabol ;
• Eğer B ² - 4 AC > 0 , denklem temsil hiperbol ;
  • Eğer bir + C = 0 , denklem temsil dikdörtgen hiperbol .

Burada kullanılan gösterimde, A ve B , yarı büyük ve yarı eksenleri A ve B olarak belirten bazı kaynakların aksine, polinom katsayılarıdır .

Değişmezler

Konik bölümün ikinci dereceden denkleminin ayırıcı B ² - 4 AC'si (veya eşdeğer olarak 2 × 2 matrisin belirleyici AC - B ² / 4'ü ) ve A + C miktarı ( 2 × 2 matrisinin izi ) altında değişmez koordinat eksenlerinin gelişigüzel dönüşleri ve ötelenmeleri, ^{[15] [16] [17]} yukarıdaki 3 × 3 matrisin determinantıdır . ^{[18] : s. 60–62} Sabit terim F ve toplam D ² + E ²yalnızca rotasyon altında değişmez. ^{[18] : s. 60–62}

Katsayılar açısından eksantriklik

Konik bölüm cebirsel olarak yazıldığında

${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0,\,}$

eksantriklik, ikinci dereceden denklemin katsayılarının bir fonksiyonu olarak yazılabilir. ^[19] halinde 4 ac = B ² konik bir paraboldür ve eksantriklik (bu dejenere olması koşuluyla), 1'e eşit olmasıdır. Aksi takdirde, denklemin dejenere olmayan bir hiperbolu veya elipsi temsil ettiği varsayılırsa, eksantriklik şu şekilde verilir:

${\displaystyle e={\sqrt {\frac {2{\sqrt {(A-C)^{2}+B^{2}}}}{\eta (A+C)+{\sqrt {(A-C)^{2}+B^{2}}}}}},}$

burada η = 1 eğer yukarıdaki 3 × 3 matrisin determinantı negatifse ve η = −1 ise bu determinant pozitifse.

Ayrıca gösterilebilir ^{[18] : s. 89} eksantrikliğin denklemin olumlu bir çözümü olduğunu

${\displaystyle \Delta e^{4}+[(A+C)^{2}-4\Delta ]e^{2}-[(A+C)^{2}-4\Delta ]=0,}$

yine burada Bunun bir parabol veya elips durumunda tam olarak bir pozitif çözümü - eksantriklik - vardır, hiperbol durumunda ise biri eksantriklik olan iki pozitif çözümü vardır.${\displaystyle \Delta =AC-{\frac {B^{2}}{4}}.}$

Kanonik forma dönüştürme

Elips veya hiperbol durumunda denklem

${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0\,}$

dönüştürülmüş değişkenlerdeki kanonik formuna dönüştürülebilir olarak ^[20]${\displaystyle x',y'}$

${\displaystyle {\frac {x'^{2}}{-S/(\lambda _{1}^{2}\lambda _{2})}}+{\frac {y'^{2}}{-S/(\lambda _{1}\lambda _{2}^{2})}}=1,}$

Veya eşdeğer olarak

${\displaystyle {\frac {x'^{2}}{-S/(\lambda _{1}\Delta )}}+{\frac {y'^{2}}{-S/(\lambda _{2}\Delta )}}=1,}$

burada ve vardır özdeğerler matris - olan, denklem örnekleri${\displaystyle \lambda _{1}}$${\displaystyle \lambda _{2}}$${\displaystyle \left({\begin{matrix}A&B/2\\B/2&C\end{matrix}}\right)}$

${\displaystyle \lambda ^{2}-(A+C)\lambda +(AC-(B/2)^{2})=0}$

- ve belirleyicisi üzerinde 3 x 3 matris ve tekrar 2 x 2 matrisin belirleyicisidir. Elips durumunda, iki yarı eksenin kareleri kanonik formdaki paydalar tarafından verilir.${\displaystyle S}$${\displaystyle \Delta =\lambda _{1}\lambda _{2}}$

Kutupsal koordinatlar

Olarak kutupsal koordinatlarda bir orijinde odaklama ve, eğer varsa, (bir elips için) negatif bir değer de diğer ya da (a hiperbol için) bir pozitif değere sahip bir konik bölüm x -Axis, denklem ile verilmektedir

${\displaystyle r={\frac {l}{1+e\cos \theta }},}$

burada e eksantriklik ve l yarı latus rektumdur.

Yukarıdaki gibi, e = 0 için grafik bir çemberdir, 0 < e <1 için grafik bir elips, e = 1 için bir parabol ve e > 1 için bir hiperbol.

Bir koniğin denkleminin kutupsal formu genellikle dinamikte kullanılır ; örneğin, Güneş etrafında dönen nesnelerin yörüngelerini belirlemek.^[21]

Özellikleri

Tıpkı iki (ayrı) noktanın bir doğruyu belirlemesi gibi, beş nokta da bir koniği belirler . Biçimsel olarak, düzlemde herhangi beş nokta genel doğrusal konumda verildiğinde , yani üç eşdoğrusal konum olmadığında, bunlardan dejenere olmayacak benzersiz bir koni geçişi vardır; bu hem Öklid düzlemi hem de uzantısı, gerçek yansıtmalı düzlem için geçerlidir. Aslında, herhangi beş nokta verildiğinde, bunlardan geçen bir konik vardır, ancak noktalardan üçü eşdoğrusal ise, konik dejenere olacaktır (bir çizgi içerdiği için indirgenebilir) ve benzersiz olmayabilir; daha fazla tartışmaya bakın .

Düzlemdeki dört nokta, genel doğrusal konumda, ilk üç noktadan geçen ve merkezi dördüncü noktaya sahip benzersiz bir koniği belirler. Bu nedenle, merkezin bilinmesi, eğrinin belirlenmesi amacıyla konik üzerindeki iki noktanın bilinmesi ile eşdeğerdir. ^[22]

Ayrıca, bir konik genel konumdaki k noktalarının herhangi bir kombinasyonu ile ve 0≤ k ≤5 için ona teğet olan 5 - k çizgileri ile belirlenir . ^[23]

Düzlemdeki herhangi bir nokta, bir koniğin sıfır, bir veya iki teğet çizgisi üzerindedir. Sadece bir teğet doğrudaki bir nokta konik üzerindedir. Teğet çizgisi olmayan bir noktanın koninin iç noktası (veya iç noktası ) olduğu söylenirken , iki teğet doğru üzerindeki bir noktanın bir dış nokta (veya dış nokta ) olduğu söylenir .

Tüm konik bölümler , şu şekilde ifade edilebilecek bir yansıma özelliğini paylaşır : Bozulmamış konik bölüm şeklindeki tüm aynalar, bir odaktan diğer odağa doğru veya uzaklaşan ışığı yansıtır. Parabol söz konusu olduğunda, ikinci odak sonsuz uzak olarak düşünülmelidir, böylece ikinci odak noktasına doğru giden veya ondan gelen ışık ışınları paralel olur. ^{[24] [25]}

Pascal'ın teoremi , herhangi bir dejenere olmayan koni üzerindeki altı noktadan oluşan üç noktanın eşdoğrusallığıyla ilgilidir. Teorem ayrıca iki çizgiden oluşan dejenere konikler için de geçerlidir, ancak bu durumda Pappus teoremi olarak bilinir .

Dejenere olmayan konik bölümler her zaman " pürüzsüzdür ". Bu, laminer akışı sağlamak ve türbülansı önlemek için pürüzsüz bir yüzeyin gerekli olduğu aerodinamik gibi birçok uygulama için önemlidir .

Tarih

Menaechmus ve erken eserler

Konik bölümün ilk tanımının , Delian probleminin ( küpün çoğaltılması ) çözümünün bir parçası olarak Menaechmus (MÖ 320'de öldü) tarafından verildiğine inanılıyor . ^{[26] [27]} Çalışmaları, bu eğriler için kullandığı isimler bile hayatta kalmadı ve sadece ikincil hesaplarla biliniyor. ^[28] O dönemde kullanılan tanım, bugün yaygın olarak kullanılandan farklıdır. Koniler, hipotenüsün koninin yüzeyini oluşturması için bir ayağının etrafında bir dik üçgenin döndürülmesiyle oluşturulmuştur (böyle bir çizgiye generatrix denir). Üç tip koni, tepe açılarına göre belirlendi (hipotenüsün oluşturduğu açının iki katı ve dik üçgende döndürülen bacak ile ölçüldü). Konik bölüm daha sonra bu konilerden birini bir generatrise dik olarak çizilmiş bir düzlemle kesiştirerek belirlendi. Koninin tipi, koninin tipine, yani koninin tepe noktasında oluşan açıya göre belirlenir: Eğer açı dar ise, o zaman konik bir elipstir; açı doğruysa konik bir paraboldür; ve açı genişse, konik bir hiperbol (ancak eğrinin yalnızca bir dalı). ^[29]

Öklid'in (MÖ 300) koni üzerine dört kitap yazdığı söylenir, ancak bunlar da kaybolmuştur. ^[30] Arşimed (ölen, c. 212 BCE), Konikleri inceledik bilinen bir parabol ve bir tel ile sınırlanan alanı tespit ettikten parabol ve dördün . Ana ilgi alanı, koniklerle ilgili alanların ve şekillerin hacminin ölçülmesiydi ve bu çalışmanın bir kısmı, konik devrimi katıları üzerine kitabında, On Conoids and Spheroids'de devam ediyor . ^[31]

Pergalı Apollonius

Antik Yunanlılar tarafından konik çalışmalarında en büyük ilerleme , sekiz ciltlik Konik Kesitler veya Konikler özetleyen ve mevcut bilgiyi büyük ölçüde genişleten Perga'lı Apollonius'dur (MÖ 190'da öldü) . ^[32] Apollonius'un bu eğrilerin özelliklerine ilişkin çalışması, açısına bakılmaksızın sabit bir çift koniyi (iki uyuklanmış) kesen herhangi bir düzlemin önceki tanıma göre bir konik üreteceğini göstermeyi mümkün kıldı ve bu da yaygın olarak kullanılan tanıma yol açar. bugün. Önceki yöntemle oluşturulamayan daireler de bu şekilde elde edilebilir. Bu, Apollonius'un daireleri neden artık yapılmayan dördüncü tip bir konik bölüm olarak gördüğünü açıklayabilir. Apollonius elips isimlerini kullandı, bu eğriler için parabol ve hiperbol , alanlar üzerindeki önceki Pisagor çalışmalarından alınan terminolojiyi ödünç alır. ^[33]

İskenderiyeli Pappus ( MS 350'de öldü), koni odağı kavramının önemini açıklamakla ve (Apollonius'un bilinen eserlerinde eksik olan) parabol durumu da dahil olmak üzere, ilgili bir yönerge kavramını detaylandırmakla tanınır. ^[34]

Al-Kuhi

Konik bölümleri çizmek için bir araç ilk olarak MS 1000'de İslami matematikçi Al-Kuhi tarafından tanımlandı . ^{[35] : 30 [36]}

Omar Khayyám

Apollonius'un çalışması Arapçaya çevrildi ve eserlerinin çoğu yalnızca Arapça versiyonuyla hayatta kaldı. Persler teorinin uygulamalarını buldular, bilhassa Fars ^[37] matematikçi ve konik bölümleri kullanarak kübik denklemleri çözmenin geometrik bir yöntemini bulan şair Omar Hayyam . ^{[38] [39]}

Avrupa

Johannes Kepler , sınır kavramının habercisi olan " süreklilik ilkesi " yoluyla konik teorisini genişletti . Kepler odak terimini ilk kez 1604'te kullandı. ^[40]

Girard Desargues ve Blaise Pascal , projektif geometrinin erken bir formunu kullanarak bir konik teorisi geliştirdi ve bu, bu yeni alanın çalışılmasına ivme kazandırmaya yardımcı oldu. Özellikle, Pascal, heksagrammum mysticum olarak bilinen ve koniklerin diğer birçok özelliğinin çıkarılabileceği bir teoremi keşfetti .

René Descartes ve Pierre Fermat , yeni keşfedilen analitik geometrilerini konik çalışmalarına uyguladılar . Bu, koniklerin geometrik problemlerini cebirdeki problemlere indirgeme etkisine sahipti. Bununla birlikte, 1655 tarihli Tractatus de sectionibus conicis incelemesinde , konik bölümleri ikinci dereceden denklem örnekleri olarak ilk tanımlayan John Wallis'ti . ^[41] Yazılı önceki, ancak daha sonra yayınlanan Jan de Witt 'in Elementa Curvarum Linearum Kepler ile başlar kinematikkoniklerin inşası ve ardından cebirsel denklemleri geliştirir. Fermat'ın metodolojisini ve Descartes'ın notasyonunu kullanan bu çalışma, konuyla ilgili ilk ders kitabı olarak tanımlanmıştır. ^[42] De Witt, directrix terimini icat etti . ^[42]

Başvurular

Konik bölümler astronomide önemlidir : Newton'un evrensel yerçekimi yasasına göre etkileşime giren iki büyük nesnenin yörüngeleri , eğer ortak kütle merkezleri hareketsiz olarak kabul edilirse konik bölümlerdir . Birbirlerine bağlılarsa, ikisi de elipsler çizeceklerdir; ayrı hareket ediyorlarsa, ikisi de parabolleri veya hiperbolleri takip edeceklerdir. İki cisim problemine bakın .

Konik kesitlerin yansıtıcı özellikleri projektör, radyo-teleskop ve bazı optik teleskopların tasarımında kullanılmaktadır. ^[43] Bir projektör, odakta bir ampul ile reflektör olarak parabolik bir ayna kullanır; ve benzer bir yapı parabolik bir mikrofon için kullanılır . Kanarya adalarındaki La Palma'daki 4,2 metrelik Herschel optik teleskopu , ışığı ikinci bir hiperbolik aynaya doğru yansıtmak için birincil parabolik bir ayna kullanıyor ve bu aynayı tekrar ilk aynanın arkasına yansıtıyor.

Gerçek yansıtmalı düzlemde

Konik bölümler Öklid düzleminde çok benzer özelliklere sahiptir ve bunun nedenleri, koniklere daha büyük bir geometri perspektifinden bakıldığında daha net hale gelir. Öklid düzlemi gerçek yansıtmalı düzleme gömülebilir ve konikler bu yansıtmalı geometride nesneler olarak düşünülebilir. Bunu yapmanın bir yolu, homojen koordinatlar eklemek ve koordinatları üç değişkende indirgenemez ikinci dereceden bir denklemi (veya eşdeğer olarak, indirgenemez ikinci dereceden bir formun sıfırlarını) karşılayan noktalar kümesi olarak bir koniği tanımlamaktır . Daha teknik, (çok sayıda değişken olarak) ikinci dereceden bir formunun sıfırdır noktaları kümesi bir adlandırılan ikinci derecedenve iki boyutlu bir yansıtmalı uzaydaki (yani, üç değişkenli) indirgenemez kuadrikler geleneksel olarak konik olarak adlandırılır.

Öklid düzlemi R ² , paralel bir sınıfın tüm çizgilerinin bu doğru üzerinde buluşması için sonsuzda bir doğruya (ve sonsuzda karşılık gelen noktalarına ) bitişik olarak gerçek yansıtmalı düzlemin içine gömülür . Öte yandan, gerçek projektif düzlemden başlayarak, bir doğruyu sonsuzdaki çizgi olarak ayırt edip onu ve tüm noktalarını kaldırarak bir Öklid düzlemi elde edilir.

Sonsuzda kesişme

Herhangi bir bölme halkası üzerinde, ancak özellikle de ya gerçek ya da karmaşık sayılar üzerinde yansıtmalı bir uzayda , tüm dejenere olmayan konikler eşdeğerdir ve bu nedenle yansıtmalı geometride bir tür belirtmeden basitçe "bir konik" ten söz edilir. Yani, herhangi bir dejenere olmayan koniği başka herhangi bir dejenere olmayan koni ile eşleştirecek projektif bir dönüşüm vardır. ^[44]

Üç tip konik kesit, sonsuzluktaki doğru olacak şekilde projektif uzayın bir çizgisinin seçilmesiyle elde edilen afin düzlemde yeniden ortaya çıkacaktır. Üç tip daha sonra sonsuzdaki bu çizginin yansıtmalı uzayda koniği nasıl kesiştiği ile belirlenir. Karşılık gelen afin uzayda, koni sonsuzda çizgiyle kesişmiyorsa bir elips, konik çizgiyi sonsuzda eksene karşılık gelen bir çift ​​noktada keserse bir parabol ve konik doğruyu keserse bir hiperbol elde edilir. asimptotlara karşılık gelen iki noktada sonsuzluk. ^[45]

Homojen koordinatlar

İçinde homojen koordinatlarla, bir konik bölüm olarak temsil edilebilir:

${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dxz+Eyz+Fz^{2}=0.}$

Veya matris gösteriminde

${\displaystyle \left({\begin{matrix}x&y&z\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}A&B/2&D/2\\B/2&C&E/2\\D/2&E/2&F\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}x\\y\\z\end{matrix}}\right)=0.}$

Yukarıdaki 3 × 3 matris , konik bölümün matrisi olarak adlandırılır .

Bazı yazarlar genel homojen denklemi şu şekilde yazmayı tercih eder:

${\displaystyle Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+2Dxz+2Eyz+Fz^{2}=0,}$

(veya bunun bir çeşitlemesi) böylece konik bölümün matrisi daha basit bir forma sahip olur,

${\displaystyle M=\left({\begin{matrix}A&B&D\\B&C&E\\D&E&F\end{matrix}}\right),}$

ancak bu gösterim bu makalede kullanılmamaktadır. ^[46]

Konik bölümün matrisinin determinantı sıfır ise, konik bölüm dejenere olur .

Altı katsayının tümü aynı sıfır olmayan skaler ile çarpıldığında, aynı sıfır kümesine sahip bir denklem elde edildiğinden, beş boyutlu projektifteki noktalar olarak ( A , B , C , D , E , F ) ile temsil edilen konikler düşünülebilir. Uzay ${\displaystyle \mathbf {P} ^{5}.}$

Bir çemberin projektif tanımı

Öklid geometrisinin metrik kavramları (uzunlukları ve açıları ölçmekle ilgili kavramlar) hemen gerçek projektif düzleme genişletilemez. ^[47] Bu yeni geometride yeniden tanımlanmalı (ve genelleştirilmelidir). Bu, gelişigüzel projektif düzlemler için yapılabilir , ancak gerçek yansıtmalı düzlemi genişletilmiş Öklid düzlemi olarak elde etmek için bazı özel seçimlerin yapılması gerekir. ^[48]

Bir projektif düzlemde, mutlak çizgi olarak anılacak olan gelişigüzel bir çizgiyi sabitleyin . Mutlak çizgi üzerinde iki farklı nokta seçin ve bunlara mutlak noktalar olarak bakın . Bu seçeneklere referansla çeşitli ölçüt kavramları tanımlanabilir. Örneğin, noktaları içeren bir çizgi verilen bir ve B , orta nokta çizgi parçası arasında AB noktası olarak tanımlanmaktadır C olan yansıtmalı harmonik konjuge kesişme noktasının AB ile ilgili olarak, ve mutlak hattı A ve B .

İki mutlak noktayı içeren yansıtmalı bir düzlemdeki koniğe daire denir . Beş nokta bir koniği belirlediğinden, bir daire (dejenere olabilen) üç nokta ile belirlenir. Uzatılmış Öklid düzlemini elde etmek için, mutlak doğru Öklid düzleminin sonsuzluğundaki çizgi olarak seçilir ve mutlak noktalar, sonsuzda dairesel noktalar olarak adlandırılan bu çizgi üzerindeki iki özel noktadır . Gerçek koordinatlara sahip iki nokta içeren çizgiler sonsuzda dairesel noktalardan geçmezler, bu nedenle Öklid düzleminde bu tanıma göre bir daire eşdoğrusal olmayan üç nokta tarafından belirlenir . ^{[49] : 72}

Öklid düzlemindeki dairelerin focus-directrix özelliği ile tanımlanamayacağı belirtildi. Bununla birlikte, eğer biri sonsuzdaki doğruyu directrix olarak düşünürse, o zaman eksantrikliği e = 0 olarak alırsak, bir daire odak-directrix özelliğine sahip olacaktır, ancak yine de bu özellik tarafından tanımlanmamıştır. ^[50] Bu durumda, eksantriklik tanımını, çember üzerindeki bir noktanın odağa olan mesafesinin (bir yarıçapın uzunluğu) o noktanın directrise olan uzaklığına oranı (bu mesafe) olarak doğru kullanmak için dikkatli olunmalıdır. sonsuzdur) bu da sıfırın sınırlayıcı değerini verir.

Steiner'ın yansıtmalı konik tanımı

Bir projektif düzlemde konik bölümleri tanımlamak için sentetik (koordinatsız) bir yaklaşım Jakob Steiner tarafından 1867'de verildi .

• İki noktada iki çizgi kalemi (tüm satırları içeren ve sırasıyla) ve üzerine yansıtmalı ancak perspektif haritalaması verilmiştir . Daha sonra, karşılık gelen çizgilerin kesişme noktaları, dejenere olmayan bir projektif konik bölüm oluşturur. ^{[51] [52] [53] [54]}${\displaystyle B(U),B(V)}$${\displaystyle U,V}$${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle B(U)}$${\displaystyle B(V)}$

Bir kalemin bir kurşun kalemle perspektif bir eşlemesi , perspektif ekseni olarak adlandırılan sabit bir çizgi üzerinde karşılık gelen çizgilerin kesiştiği bir eşlemedir (1-1 karşılık gelir) .${\displaystyle \pi }$${\displaystyle B(U)}$${\displaystyle B(V)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \pi }$

Bir projektif haritalama, sonlu bir perspektif haritalama dizisidir.

Bir alan ( pappian düzlemi ) üzerinde projektif bir düzlemde projektif bir haritalama , üç çizginin görüntülerini tanımlayarak benzersiz bir şekilde belirlendiğinden, ^[55] bir konik bölümün Steiner üretimi için, iki noktanın yanı sıra yalnızca 3 çizginin görüntüleri olmalıdır. verilen. Bu 5 öğe (2 nokta, 3 çizgi) konik bölgeyi benzersiz bir şekilde belirler.${\displaystyle U,V}$

Çizgi konikleri

Tarafından Dualite Prensip bir yansıtmalı bir düzlemde, her bir nokta bir çift bir adlandırılan bir çizgi ve nokta bir mahaline, (bazı koşulunu sağlayan bir nokta kümesinin) ikili bir zarf hatları. Steiner'in bir konik tanımını (bu noktaların lokusu şimdi bir nokta konik olarak anılacaktır ) iki ilişkili kalemin karşılık gelen ışınlarının buluşması olarak kullanarak, ikilileştirmek ve karşılık gelen noktaların birleşiminden oluşan karşılık gelen zarfı elde etmek kolaydır. farklı temellerde iki ilişkili aralık (bir çizgi üzerindeki noktalar) (noktaların üzerinde olduğu çizgiler). Böyle bir zarfa çizgi konik (veya çift ​​konik ) denir .

Gerçek yansıtmalı düzlemde, bir nokta koniği, her çizginin kendisini iki noktada karşılama özelliğine sahiptir (çakışabilir veya karmaşık olabilir) ve bu özelliğe sahip herhangi bir nokta kümesi bir nokta koniğidir. Bunu, bir çizgi konisinin her noktasında iki çizgisine sahip olduğu ve bu özelliğe sahip herhangi bir çizgi zarfı bir çizgi koniği olduğu şeklindedir. Bir koni noktasının her noktasında benzersiz bir teğet doğru vardır ve bir doğru koniğinin her çizgisinde çift olarak temas noktası adı verilen benzersiz bir nokta vardır . Önemli bir teorem, bir nokta koniğinin teğet doğrularının bir çizgi konisi oluşturduğunu ve çift olarak bir çizgi konisinin temas noktalarının bir nokta konisi oluşturduğunu belirtir. ^{[56] : 48–49}

Von Staudt'un tanımı

Karl Georg Christian von Staudt bir koniği, mutlak noktaları olan bir kutupluluğun tüm mutlak noktaları tarafından verilen nokta kümesi olarak tanımladı . Von Staudt, bu tanımı Geometrie der Lage'de (1847), tüm metrik kavramları yansıtmalı geometriden çıkarma girişiminin bir parçası olarak tanıttı .

Bir kutup , π , bir yansıtmalı düzleminin P , (sırası iki, yani) bir involutory olan bir eşleşme noktaları ve çizgileri arasındaki P bu korur sıklığı ilişkisi . Bu durumda, bir kutup noktası ile ilgilidir Q bir çizgi ile q takip eden, Gergonne , q adlandırılan kutup arasında Q ve Q kutup arasında q . ^[57] Kutupluluğun mutlak noktası ( doğrusu ), kutbuyla (kutbuyla) karşılaşan noktadır .^[58]

Gerçek projektif düzlemdeki bir von Staudt koniği, bir Steiner konisine eşdeğerdir . ^[59]

İnşaatlar

Cetvel ve pusula ile sürekli bir koni yayı yapılamaz. Bununla birlikte, bir yay üzerindeki herhangi bir sayıda münferit nokta için birkaç düz kenarlı ve pusula yapısı vardır.

Bunlardan biri, Pascal teoreminin tersine dayanmaktadır, yani, bir altıgenin zıt taraflarının kesişme noktaları eşdoğrusal ise, o zaman altı köşe bir konik üzerinde uzanır. Spesifik olarak, beş puan, verilen bir , B , C , D , E ve içinden geçen bir çizgi E , ki EG , nokta F beş nokta ile belirlenir konik bu hat üzerinde yer alır ve bir inşa edilebilir. Let AB karşılamak DE içinde L , M.Ö. karşılamak EG içinde M ve izin CD buluştuğuLM deN. Daha sonra AN , gerekliFnoktasında EG ilebuluşur. ^{[60] : 52-53 Doğruyu} E'yedoğru değiştirerek, konik üzerinde istenildiği kadar çok ek nokta inşa edilebilir.

Steiner'in yapısına dayanan ve mühendislik uygulamalarında yararlı olan bir başka yöntem, paralelkenar yöntemidir ; burada bir koni, yatay bir çizgi ve dikey bir çizgi üzerinde eşit aralıklı belirli noktaları birleştirerek nokta nokta inşa edilir. ^[61] Özellikle, elipsi denklemle oluşturmak içinx ²/bir ² + y ²/b ²= 1 , önce ABCD dikdörtgenini A ( a , 0), B ( a , 2 b ), C (- a , 2 b ) ve D (- a , 0) köşeleri ile oluşturun . BC tarafını n eşit parçaya bölün ve AB tarafında eşit segmentler oluşturmak için AC köşegenine göre paralel projeksiyon kullanın (bu segmentlerin uzunluklarıb/aBC üzerindeki segmentlerin uzunluğunun katı ). BC tarafında , segmentlerin sol uç noktalarını B'den başlayıp C'ye doğru giden A ₁ ila A _{n şeklinde} etiketleyin . AB tarafında , A'dan başlayıp B'ye doğru giden D ₁ ila D _n üst uç noktalarını etiketleyin . Kesişme noktaları, 1 ≤ i ≤ n için AA _i ∩ DD _i , elipsin A veP (0, b ) . Etiketleme, kalemin çizgilerini A boyunca olan kaleminçizgileriyle D'ye doğru projektif olarak, ancak perspektif olarak ilişkilendirmez. Üç nokta A , D ve P ve iki teğet ( A ve D' deki dikey çizgiler)bu yapı ile aranan koni elde edilir.) koniği benzersiz şekilde belirleyin. Elipsin büyük ve küçük eksenleri yerine başka bir çap (ve eşlenik çapı) kullanılırsa, yapıda dikdörtgen olmayan bir paralelkenar kullanılır ve yöntemin adını verir. Kalemlerin çizgilerinin birleşimi, elips üzerindeki diğer noktaları elde etmek için genişletilebilir. Hiperboller ^[62] ve parabollar ^{[63] için yapılan} yapılar benzerdir.

Yine başka bir genel yöntem, bir koniğin (bir çizgi koniği) teğet zarfını oluşturmak için polarite özelliğini kullanır. ^[64]

Karmaşık yansıtmalı düzlemde

Karmaşık düzlemde Cı ² , elips ve hiperbollerin belirgin değildir: bir hayali eksen uzunluğuna sahip bir elips şeklinde bir hiperbol düşünebilir. Örneğin, elips , geometrik olarak karmaşık bir dönme ikamesi altında bir hiperbol haline gelir ve sonuç verir . Bu nedenle 2 yönlü bir sınıflandırma vardır: elips / hiperbol ve parabol. Eğrileri karmaşık projektif düzleme genişletmek, bu, çizginin sonsuzda 2 farklı noktada (iki asimtota karşılık gelir) veya 1 çift noktada (bir parabolün eksenine karşılık gelir) kesişmesine karşılık gelir; bu nedenle gerçek hiperbol, aynı zamanda sonsuzdaki çizgi ile 2 (gerçek) kesişme noktasına sahip olduğundan, karmaşık elips / hiperbol için daha düşündürücü bir gerçek görüntüdür.${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$${\displaystyle y=iw,}$${\displaystyle x^{2}-w^{2}=1}$

Karmaşık yansıtmalı düzlem CP ^2'de daha fazla birleşme meydana gelir : dejenere olmayan konikler birbirinden ayırt edilemez, çünkü herhangi biri diğerine yansıtmalı bir doğrusal dönüşüm ile alınabilir .

CP ^2'de iki konik bölümün dört ortak noktası olduğu kanıtlanabilir (eğer biri çokluğu hesaba katıyorsa ), bu nedenle 1 ile 4 arasında kesişme noktası vardır. Kesişme olasılıkları şunlardır: dört ayrı nokta, iki tekil nokta ve bir çift nokta, iki çift nokta, bir tekil nokta ve bir çokluk 3, bir nokta çokluk 4. Eğer herhangi bir kesişme noktasının çokluğu> 1 ise, iki eğri söylenir. olmak tanjant . En az 3 çokluklu bir kesişme noktası varsa, iki eğrinin salınımlı olduğu söylenir . Çokluğu 4 olan tek bir kesişme noktası varsa, iki eğrinin süperkültürlü olduğu söylenir .^[65]

Ayrıca, her düz çizgi , her konik bölümü iki kez keser. Kesişme noktası çift ise, çizgi teğet bir doğrudur . Sonsuzdaki doğru ile kesişen her konik kesitin sonsuzda iki noktası vardır. Bu noktalar gerçekse, eğri bir hiperbol ; hayali eşlenikler iseler, bu bir elipstir ; tek bir çift nokta varsa, bu bir paraboldür . Sonsuzluktaki noktalar döngüsel noktalar (1, i , 0) ve (1, - i , 0) ise, konik bölge bir çemberdir . Konik bir bölümün katsayıları gerçekse, sonsuzdaki noktalar ya gerçektir ya dakarmaşık eşlenik .

Dejenere vakalar

Bir koniğin dejenere durumu olarak neyin değerlendirilmesi gerektiği , kullanılan tanıma ve konik bölümün geometrik ayarına bağlıdır. Bir koniği iki boyutlu dejenere olmayan bir kuadrik olarak tanımlayan bazı yazarlar vardır. Bu terminoloji ile dejenere konikler yoktur (sadece dejenere kuadrikler), ancak daha geleneksel terminolojiyi kullanmalı ve bu tanımdan kaçınmalıyız.

Öklid düzleminde, geometrik tanımı kullanarak, kesme düzlemi koninin tepesinden geçtiğinde dejenere bir durum ortaya çıkar . Dejenere konik şunlardan biridir: düzlemin koniyi sadece tepede kestiği bir noktadır ; bir düz çizgi , düzlem koni teğet olduğu zaman (bu koninin tam olarak bir jeneratör içerir); veya bir çift kesişen çizgi (koninin iki jeneratörü). ^[66] Bunlar sırasıyla bir elips, parabol ve bir hiperbolün sınırlayıcı formlarına karşılık gelir.

Öklid düzlemindeki bir konik, ikinci dereceden bir denklemin sıfırları ile tanımlanıyorsa (yani, bir kuadrik olarak), dejenere konikler şunlardır: boş küme , bir nokta veya paralel olabilen, kesişen bir çizgi çifti bir noktada veya çakışıyor. Boş küme durumu , denklemdeki gibi bir çift karmaşık eşlenik paralel çizgiye veya denklemdeki gibi hayali bir elipse karşılık gelebilir. Hayali bir elips dejenereliğin genel tanımını karşılamaz ve bu nedenle normalde dikkate alınmaz. dejenere olarak. ^[67]${\displaystyle x^{2}+1=0,}$${\displaystyle x^{2}+y^{2}+1=0.}$İki satır durumu, ikinci dereceden ifade iki doğrusal faktöre çarptığında ortaya çıkar, her birinin sıfırları bir çizgi verir. Faktörlerin aynı olması durumunda, karşılık gelen çizgiler çakışır ve biz doğruyu çift çizgi ( çokluk 2'ye sahip bir çizgi ) olarak adlandırırız ve bu, teğet kesme düzleminin önceki durumudur.

Gerçek yansıtmalı düzlemde, paralel çizgiler çizgi üzerindeki bir noktada sonsuzda buluştuğundan, Öklid düzleminin paralel çizgi durumu kesişen çizgiler olarak görülebilir. Bununla birlikte, kesişme noktası koninin tepe noktası olduğu için, koninin kendisi bir silindire , yani tepe noktası sonsuzda olacak şekilde dejenere olur . Bu durumda diğer bölümler silindirik bölümler olarak adlandırılır . ^[68] Dejenere olmayan silindirik bölümler elipsler (veya daireler).

Karmaşık yansıtmalı düzlem perspektifinden bakıldığında, gerçek bir kuadriğin dejenere durumlarının (yani ikinci dereceden denklemin gerçek katsayıları vardır) tümü muhtemelen çakışan bir çift çizgi olarak düşünülebilir. Boş küme, çift çizgi olarak kabul edilen sonsuzdaki çizgi olabilir; bir (gerçek) nokta, iki karmaşık eşlenik çizginin ve daha önce belirtildiği gibi diğer durumların kesişimidir .

Matris notasyonu kullanarak dejenere durumları dejenere olmayan durumlardan (ikincisiyle boş küme dahil) ayırt etmek için , konik bölümün 3 × 3 matrisinin belirleyicisi β olsun , yani β = ( AC -B ²/4) F +YATAK - CD ² - AE ²/4; ve α = B ² - 4 AC ayırıcı olsun. O zaman konik bölüm ancak ve ancak β ≠ 0 ise dejenere değildir . Eğer β = 0 bir noktaya sahip α <0 olduğunda, iki paralel çizgi (muhtemelen denk) α = 0 , ya da iki kesişen çizgiler α 0> . ^[69]

Konik kalem

Bir (dejenere olmayan) konik, bir düzlemdeki genel konumdaki beş nokta (üç eşdoğrusal olmayan ) tarafından tamamen belirlenir ve sabit dört noktadan (yine bir düzlemde ve üç eşdoğrusal olmayan) geçen konik sistemi olarak adlandırılır. bir kalem konik . ^{[70] : 64} Dört ortak noktaya kalemin temel noktaları denir . Taban noktası dışındaki herhangi bir noktadan, kalemin tek bir konisi geçer. Bu kavram, bir kalem daire şeklini genelleştirir . ^{[71] : 127}

İki koniği kesişiyor

İki değişkenli iki ikinci derece denklem sisteminin çözümleri, iki genel konik bölümün kesişme noktalarının koordinatları olarak görülebilir. Özellikle iki konik hiçbirine, iki veya dört muhtemelen çakışan kesişme noktasına sahip olabilir. Bu çözümleri bulmanın etkili bir yöntemi, konik bölümlerin homojen matris temsilini kullanır , yani altı parametreye bağlı olan 3 × 3 simetrik bir matris .

Kesişme noktalarını bulma prosedürü, koniklerin matrislerle temsil edildiği şu adımları takip eder: ^[72]

• İki Konikleri verilen ve onların lineer kombinasyonu tarafından verilen Koniklerin kalem, düşünün${\displaystyle C_{1}}$${\displaystyle C_{2}}$${\displaystyle \lambda C_{1}+\mu C_{2}.}$
• Kalemin dejenere konisine karşılık gelen homojen parametreleri tanımlar . Bu bu şartı empoze yapılabilir ve çözme için ve . Bunlar üçüncü dereceden bir denklemin çözümleri olarak ortaya çıkıyor.${\displaystyle (\lambda ,\mu )}$${\displaystyle \det(\lambda C_{1}+\mu C_{2})=0}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \mu }$
• dejenere koni verildiğinde, onu oluşturan muhtemelen çakışan iki çizgiyi tanımlayın.${\displaystyle C_{0}}$
• tanımlanmış her çizgiyi iki orijinal konikten biriyle kesiştirin; bu adım, çift konik gösterimi kullanılarak verimli bir şekilde yapılabilir.${\displaystyle C_{0}}$
• kesişme noktaları, ilk denklem sisteminin çözümlerini temsil edecektir.

Genellemeler

Konikler, diğer alanlar üzerinde (yani, diğer pappian geometrilerinde ) tanımlanabilir. Bununla birlikte, bazı formüller kullanılamadığından, tarla karakteristik 2'ye sahip olduğunda biraz dikkatli olunmalıdır . Örneğin, yukarıda kullanılan matris gösterimleri 2'ye bölmeyi gerektirir.

Yansıtmalı bir düzlemde dejenere olmayan bir koniğin genellemesi ovaldir . Bir oval, konikler tarafından tutulan aşağıdaki özelliklere sahip bir nokta kümesidir: 1) herhangi bir çizgi bir ovalle hiç kesişmez, bir veya iki noktada, 2) ovalin herhangi bir noktasında benzersiz bir teğet doğrusu vardır.

Koniklerin odak özelliklerini ikiden fazla odak olduğu duruma genellemek, genelleştirilmiş konikler adı verilen kümeler üretir .

Matematiğin diğer alanlarında

Eliptik, parabolik ve hiperbolik olarak sınıflandırma matematikte yaygındır ve genellikle bir alanı keskin bir şekilde farklı alt alanlara böler. Sınıflandırma, çoğunlukla ikinci dereceden bir formun varlığından kaynaklanır (iki değişkende bu, ilişkili ayırt ediciye karşılık gelir), ancak aynı zamanda eksantrikliğe de karşılık gelebilir.

İkinci dereceden form sınıflandırmaları:

İkinci dereceden formlar

Gerçekler üzerindeki kuadratik formlar, Sylvester'ın eylemsizlik yasasına göre , yani pozitif indeksi, sıfır indeksi ve negatif indeksi ile sınıflandırılır : n değişkenli ikinci dereceden bir form , +1 katsayılarının sayısının k olduğu gibi köşegen bir forma dönüştürülebilir. , pozitif indeks, −1 katsayılarının sayısı, ℓ , negatif indeks ve geri kalan değişkenler sıfır indeksi m'dir, bu nedenle iki değişkende sıfır olmayan ikinci dereceden formlar şu şekilde sınıflandırılır:${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{k}^{2}-x_{k+1}^{2}-\cdots -x_{k+\ell }^{2},}$${\displaystyle k+\ell +m=n.}$

• ${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$ - elipslere karşılık gelen pozitif tanımlı (negatifler de dahildir),
• ${\displaystyle x^{2}}$ - parabollere karşılık gelen dejenere ve
• ${\displaystyle x^{2}-y^{2}}$ - belirsiz, hiperbollere karşılık gelir.

İki değişkenli ikinci dereceden formlar, koniklere benzer şekilde ayırt edici olarak sınıflandırılır, ancak daha yüksek boyutlarda daha kullanışlı olan sınıflandırma, kesin, (tümü pozitif veya tümü negatif), dejenere (bazı sıfırlar) veya belirsiz (pozitif ve negatif karışımı, ancak sıfır yok). Bu sınıflandırma, takip eden birçok kişinin temelini oluşturur.

Eğrilik

Gauss eğriliği a yüzeyi sonsuz geometriyi tarif ve her noktada ya pozitif olabilir - eliptik geometrisi , sıfır - Öklid geometrisi (düz, parabol) veya negatif - hiperbolik geometrisi ; sonsuz küçük olarak, ikinci sırayla yüzey (veya 0) veya grafiğine benziyor . Aslında, tekdüzelik teoremi ile her yüzey küresel olarak (her noktada) pozitif eğimli, düz veya negatif eğimli olarak alınabilir. Daha yüksek boyutlarda Riemann eğrilik tensörü daha karmaşık bir nesnedir, ancak sabit kesitsel eğriliğe sahip manifoldlar${\displaystyle x^{2}+y^{2},}$ ${\displaystyle x^{2}}$${\displaystyle x^{2}-y^{2}}$ilginç çalışma nesneleridir ve kesit eğriliğinde tartışıldığı gibi çarpıcı şekilde farklı özelliklere sahiptir .

İkinci dereceden PDE'ler

İkinci dereceden kısmi diferansiyel denklemler (PDE'ler) her noktada eliptik, parabolik veya hiperbolik olarak sınıflandırılır, buna göre ikinci dereceden terimleri eliptik, parabolik veya hiperbolik kuadratik forma karşılık gelir. Bu farklı PDE türlerinin davranışı ve teorisi çarpıcı biçimde farklıdır - temsili örnekler, Poisson denkleminin eliptik, ısı denkleminin parabolik ve dalga denkleminin hiperbolik olmasıdır.

Eksantriklik sınıflandırmaları şunları içerir:

Möbius dönüşümleri

Gerçek Möbiüs dönüşümleri (unsurları PSL 2 ( R ) ya da 2-kat kapağı, SL 2 ( R ) ) vardır sınıflandırılan eliptik, parabolik ya da bunların yarım izidir buna göre hiperbolik olarak veya dış merkezli göre sınıflandırmayı yansıtma.${\displaystyle 0\leq |\operatorname {tr} |/2<1,}$ ${\displaystyle |\operatorname {tr} |/2=1,}$${\displaystyle |\operatorname {tr} |/2>1,}$

Varyans-ortalama oranı

Varyans-ortalama oranı, ayrık olasılık dağılımlarının birkaç önemli ailesini sınıflandırır : sabit dağılım dairesel olarak (eksantriklik 0), eliptik olarak binom dağılımları , parabolik olarak Poisson dağılımları ve hiperbolik olarak negatif binom dağılımları . Bu, bazı kesikli olasılık dağılımlarının kümülantlarında ayrıntılı olarak açıklanmıştır .

Ayrıca bakınız

• Çevresel ve konik olmayan
• Konik Bölüm İsyanı , Yale üniversitesi öğrencilerinin protestoları
• Yönetmen çemberi
• Eliptik koordinat sistemi
• Eşit mesafeli set
• Dokuz noktalı konik
• Parabolik koordinatlar
• İkinci dereceden fonksiyon

Notlar

Referanslar

• Akopyan, AV; Zaslavsky, AA (2007). Koniklerin Geometrisi . Amerikan Matematik Derneği . ISBN 978-0-8218-4323-9.
• Artzy Rafael (2008) [1965], Doğrusal Geometri , Dover, ISBN 978-0-486-46627-9
• Boyer, Carl B. (2004) [1956], Analitik Geometri Tarihi , Dover, ISBN 978-0-486-43832-0
• Brannan, David A .; Esplen, Matthew F .; Gray, Jeremy J. (1999), Geometri , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-59787-6
• Coxeter, HSM (1964), Projektif Geometri , Blaisdell, ISBN 9780387406237
• Coxeter, HSM (1993), The Real Projective Plane , Springer Science & Business Media
• Downs, JW (2003) [1993], Pratik Konik Kesitler: Elipslerin, parabollerin ve hiperbollerin geometrik özellikleri , Dover, ISBN 0-486-42876-1
• Eves Howard (1963), Bir Geometri Araştırması (Cilt Bir) , Boston: Allyn ve Bacon
• Hartmann, Erich, Planar Circle Geometries, an Introduction to Moebius-, Laguerre- and Minkowski Planes (PDF) , retrieved 20 Eylül 2014 (PDF; 891 kB).
• Katz, Victor J. (1998), A History of Mathematics / An Introduction (2. baskı), Addison Wesley Longman, ISBN 978-0-321-01618-8
• Kendig, Keith (2005), Konik , Amerika Matematik Derneği , ISBN 978-0-88385-335-1
• Faulkner, TE (1952), Projektif Geometri (2. baskı), Edinburgh: Oliver ve Boyd, ISBN 9780486154893
• Merserve, Bruce E. (1983) [1959], Geometri Temel Kavramları , Dover, ISBN 0-486-63415-9
• Protter, Murray H .; Morrey, Jr., Charles B. (1970), College Calculus with Analytic Geometry (2. baskı), Okuma: Addison-Wesley , LCCN  76087042
• Richter-Gebert, Jürgen (2011). İzdüşümlü Geometri Üzerine Perspektifler: Gerçek ve Karmaşık Geometride Rehberli Bir Tur . Springer. ISBN 9783642172854.
• Samuel, Pierre (1988), Projektif Geometri , Matematikte Lisans Metinleri (Matematikte Okumalar), New York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-96752-4
• Thomas, George B .; Finney, Ross L. (1979), Calculus and Analytic Geometry (beşinci baskı), Addison-Wesley, s. 434, ISBN 0-201-07540-7
• Wilson, WA; Tracey, JI (1925), Analytic Geometry (Revize ed.), DC Heath and Company

Dış bağlantılar

Wikimedia Commons'ta Konik bölümlerle ilgili medyalar bulunur .

Vikikitap'ta şu konu hakkında bir kitap var: Konik bölümler

Wikisource , 1911 Encyclopædia Britannica makalesinin Konik Bölümü metnine sahiptir .

• Konik kesit (Geometri) de Ansiklopedisi Britannica'ya
• Bir Koniden Gerçekten Konik Formüller Türetebilir misiniz? arşiv 2007-07-15 Gary S. Stoudt ( Indiana University of Pennsylvania
• Konik kesitleri de Özel uçak eğrileri .
• Weisstein, Eric W. "Konik Kesit" . MathWorld .
• Koniklerin oluşumu. Doğada ve başka yerlerde konikler .
• Bkz konik kesitler ile kesme-düğüm sonlu konik bölüm, bir elips olduğu ve keskin bir kanıtı için XAH Lee diğer Koniklerin benzer tedavisi için kullanılabilir.
• Sekiz Nokta Konik at Dinamik Geometri Eskiz
• İkinci dereceden örtük denklem konumu Etkileşimli bir Java konik grafik oluşturucu; genel bir ikinci dereceden örtük denklem kullanır.