Karmaşık sayı

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Gezintiye atla Aramaya atla

Karmaşık bir sayı, görsel olarak , karmaşık düzlemi temsil eden, Argand diyagramı adı verilen bir diyagram üzerinde bir vektör oluşturan bir çift sayı ( a ,  b ) olarak temsil edilebilir . gerçek eksen, sanal eksendir ve i , i 2 = -1'i sağlayan hayali birimdir.

Gelen matematik , bir karmaşık sayı a, sayı şekilde ifade edilebilir a + çift , bir ve b olan reel sayılar ve i a, sembol adı hayali birimi ve aşağıdaki denkleme uygun i 2 = -1 . "Gerçek" sayı tatmin bu denklem Çünkü ben bir denirdi hayali numara ile Rene Descartes'ın . Karmaşık sayı için a + bi , bir denirgerçek kısım ve b'ye hayali kısım denir. Karmaşık sayılar kümesi, sembollerden biriveya C ile gösterilir . Tarihsel "hayali" terminolojisine rağmen, karmaşık sayılar matematik bilimlerinde gerçek sayılar kadar "gerçek" olarak kabul edilir ve doğal dünyanın bilimsel tanımının birçok yönünden temeldir. [1] [2] [3] [4] [a]

Karmaşık sayılar , gerçek sayılarda çözümü olmayanlar da dahil olmak üzere tüm polinom denklemlere çözüm sağlar. Daha kesin olarak, cebirin temel teoremi, gerçek veya karmaşık katsayılı her polinom denkleminin karmaşık bir sayı olan bir çözüme sahip olduğunu ileri sürer. Örneğin, denklemin gerçek bir çözümü yoktur, çünkü bir gerçek sayının karesi negatif olamaz, ancak iki gerçek olmayan karmaşık çözümü −1 + 3 i ve −1 - 3 i vardır .

Karmaşık sayıların toplanması, çıkarılması ve çarpılması doğal olarak i 2 = −1 kuralı ile ilişkilendirme , değişme ve dağıtım yasaları ile birlikte tanımlanabilir. Sıfır olmayan her karmaşık sayının çarpımsal bir tersi vardır . Bu kompleks sayılar bir hale getirir alan bir alt alanı olarak gerçek numaraları vardır. Karmaşık sayılar aynı zamanda , standart temel olarak {1, i } ile ikinci boyutun gerçek vektör uzayını oluşturur .

Bu standart temel, karmaşık sayıları karmaşık düzlem adı verilen Kartezyen bir düzlem yapar . Bu, karmaşık sayıların ve işlemlerinin geometrik bir yorumuna ve tersine, karmaşık sayılar açısından bazı geometrik özelliklerin ve yapıların ifade edilmesine izin verir. Örneğin, gerçek sayılar , karmaşık düzlemin yatay eksenine tanımlanan gerçek çizgiyi oluşturur. Kompleks numaralar mutlak değeri bir oluşturan birim çemberi . Bir karmaşık sayının eklenmesi olduğu için kompleks düzlemde ve karmaşık sayısına göre çarpma a, benzerlik orijinde merkezli. Kompleks bir birleştirme olduğugerçek eksene göre yansıma simetrisi . Karmaşık mutlak değer bir Öklid normudur .

Özetle, karmaşık sayılar eşzamanlı olarak cebirsel olarak kapalı bir alan , gerçekler üzerinde değişmeli bir cebir ve iki boyutlu bir Öklid vektör uzayı olan zengin bir yapı oluşturur .

Tanım [ düzenle ]

Karmaşık sayı bir örneği z = x + iy ile kompleks düzlemde . Gerçek kısım x ve hayali kısım y .

Bir kompleks sayı bir şekilde bir sayıdır a + çift , bir ve b olan reel sayılar ve i karşılayan bir belirsiz i 2 = -1 . Örneğin, 2 + 3 i karmaşık bir sayıdır. [6] [3]

Bu şekilde, karmaşık bir sayı, tek belirsiz i'de gerçek katsayılara sahip bir polinom olarak tanımlanır , bunun için i 2 + 1 = 0 bağıntısı empoze edilir. Bu tanıma dayanarak, karmaşık sayılar polinomlar için toplama ve çarpma kullanılarak eklenebilir ve çarpılabilir. İ 2 + 1 = 0 ilişkisi , i 4 k = 1, i 4 k +1 = i , i 4 k +2 = −1 ve i 4 k +3 = - i ,tüm tamsayılar için tutulan k ; bunlar, karmaşık sayıların eklenmesi ve çarpılmasından kaynaklanan herhangi bir polinomun , yine gerçek katsayıları a, b ile a + bi formunda, i'de doğrusal bir polinoma indirgenmesine izin verir .

Gerçek sayı a , karmaşık sayının a + bi'nin gerçek kısmı olarak adlandırılır ; gerçek sayı b'ye hayali kısmı denir . Vurgulamak gerekirse, hayali kısım bir faktör i içermez ; yani hayali kısım b , bi değil . [7] [8] [3]

Biçimsel olarak, karmaşık sayılar olarak tanımlanır bölüm halkası arasında polinom halka belirsiz olarak i ile, bir ideal polinom ile oluşturulan i 2 + 1 (bakınız aşağıda ). [9]

Gösterim [ düzenle ]

Gerçek bir a sayısı , hayali kısmı 0 olan karmaşık bir sayı a + 0 i olarak kabul edilebilir. Tamamen sanal bir sayı bi , gerçek kısmı sıfır olan karmaşık bir 0 + bi sayısıdır . Polinomların olduğu gibi, yazmak için ortak bir için bir +0 i ve bi için 0 + bi . Dahası, hayali kısım negatif olduğunda, yani b = - | b | <0 , a + (- | b | ) i yerine a - | b | i yazmak yaygındır; Örneğin, için b = -4 , 3-4 ı yerine yazılabilir 3 + (-4) i .

Gerçek katsayılı polinomlarda belirsiz i ile bir realin çarpımı değişmeli olduğundan, a + bi polinomu a + ib olarak yazılabilir . Bu genellikle ifadelerle gösterilen hayali parçalar için uygundur, örneğin, b bir radikal olduğunda. [10]

Bir karmaşık sayının gerçek parçası z ile gösterilmiştir Re ( z ) , ya da ℜ ( Z ) ; bir karmaşık sayı hayali bölümü , z ile gösterilmiştir Im ( z ) , ya da ℑ ( z ) . [2] Örneğin,

Grubu kompleks numaralar ile gösterilmektedir ( kara tahta kalın ) ya da C (dik kalın). [2]

Bazı disiplinlerde, özellikle de elektromanyetizma ve elektrik mühendisliği , j yerine kullanılan i olarak ben sık göstermek için kullanılan elektrik akımını . [11] Bu durumlarda, karmaşık sayılar a + bj veya a + jb olarak yazılır .

Görselleştirme [ düzenle ]

Bir nokta (siyah) ve konum vektörü (mavi) olarak karmaşık bir sayı z

Böylelikle karmaşık bir sayı z , sırayla iki boyutlu bir uzaydaki bir noktanın koordinatları olarak yorumlanabilen sıralı bir gerçek sayı çiftiyle tanımlanabilir . En yakın uzay, uygun koordinatlara sahip Öklid düzlemidir, bu daha sonra karmaşık düzlem veya Argand diyagramı olarak adlandırılır , [12] [b] [13] Jean-Robert Argand'ın adını taşır . Koordinatların yansıtılabileceği bir diğer önemli alan, daha sonra Riemann küresi olarak adlandırılan bir kürenin iki boyutlu yüzeyidir .

Kartezyen karmaşık düzlem [ değiştir ]

İki rastgele gerçek değeri içeren karmaşık sayıların tanımı, hemen karmaşık düzlemde Kartezyen koordinatların kullanılmasını önerir. Yatay ( gerçek ) eksen, genellikle sağa doğru artan değerler ile gerçek parçayı görüntülemek için kullanılır ve sanal parça , yukarı doğru artan değerler ile dikey ( hayali ) ekseni işaretler .

Çizelgelenmiş bir sayı ya koordinatlanmış nokta olarak ya da başlangıçtan bu noktaya bir konum vektörü olarak görüntülenebilir. Karmaşık bir z sayısının koordinat değerleri bu nedenle Kartezyen , dikdörtgen veya cebirsel formda ifade edilebilir.

Özellikle, toplama ve çarpma işlemleri, karmaşık sayılar konum vektörleri olarak görüldüğünde çok doğal bir geometrik karakter alır: toplama vektör toplamaya karşılık gelirken, çarpma (aşağıya bakınız ) büyüklüklerini çarpmaya ve yaptıkları açıları toplamaya karşılık gelir. gerçek eksen. Bu şekilde bakıldığında, karmaşık bir sayının i ile çarpımı , konum vektörünün saat yönünün tersine , orijini etrafında çeyrek tur ( 90 ° ) döndürmeye karşılık gelir - bu cebirsel olarak aşağıdaki gibi ifade edilebilir:

Kutupsal karmaşık düzlem [ düzenle ]

Argüman φ ve modül r , karmaşık düzlemde bir noktanın yerini belirler.

Modül ve bağımsız değişken [ değiştir ]

Karmaşık düzlemdeki koordinatlar için alternatif bir seçenek, z noktasının orijinden ( O ) olan mesafesini ve pozitif gerçek eksen ile Oz çizgi parçası arasındaki açıyı saat yönünün tersine doğru kullanan kutupsal koordinat sistemidir . Bu, karmaşık sayıların kutupsal biçimine götürür.

Mutlak değeri (ya da modülü ya da büyüklüğü karmaşık sayısı) z = x + il olduğu [14]

Eğer z (eğer bir reel sayıdır , Y = 0 , o) r = | x | . Yani, gerçek bir sayının mutlak değeri, bir karmaşık sayı olarak mutlak değerine eşittir.

Tarafından Pisagor teoreminin , bir karmaşık sayının mutlak değeri, karmaşık bir sayısını temsil eden nokta orijinine mesafedir kompleks düzlemde .

Bağımsız değişken bölgesinin z ( "faz" olarak adlandırılır birçok uygulamada cp ) [13] açısıdır yarıçapı Öz pozitif reel eksene sahip ve olarak yazılır Arg z . Modülusta olduğu gibi, argüman x + yi [15] dikdörtgen formundan bulunabilir - ters tanjantı hayali gerçek parçaların bölümüne uygulayarak. Bir yarı-açı kimliğini kullanarak, açının kısıtlamasını tek bir dalı aralığını karşılamak için arg -Fonksiyon, (- tt , π ] ve daha ince bir durum-durum analizi önler

Yukarıda verildiği gibi, normal olarak, temel değer aralığı içinde (- tt , π ] . Seçilir değerleri aralığında [0, 2 π ) ilave edilmesiyle elde edilir 2 tt değeri negatif ise -. Değeri cp olarak ifade edilir radyan bu yazıda. Herhangi bir 2 π tamsayı katı kadar artabilir ve pozitif gerçek eksenin ışınları tarafından ve başlangıç ​​noktasından z'ye kadar görüldüğü gibi, yine de aynı açıyı verebilir . Bu nedenle, arg işlevi bazen birden çok değerli olarak kabul edilir. Karmaşık 0 sayısı için kutup açısı belirsizdir, ancak 0 kutup açısının keyfi seçimi yaygındır.

Φ değeri , atan2'nin sonucuna eşittir :

Birlikte, R ve φ karmaşık sayılar, temsil eden bir yöntem sağlamak , polar formu modülü ve değişken kombinasyonunun tamamen düzlem üzerindeki bir noktanın konumu belirtmek gibi. Orijinal dikdörtgen koordinatların kutupsal formdan kurtarılması, trigonometrik form adı verilen formülle yapılır.

Euler'in formülünü kullanarak bu şu şekilde yazılabilir:

Cis işlevini kullanarak bu bazen şu şekilde kısaltılır:

Olarak açı gösterimde , genellikle kullanılan elektronik bir temsil etmek fazör amplitüdde r ve faz cp , bu olarak yazılır [16]

Karmaşık grafikler [ düzenle ]

İfadenin renk çarkı grafiği ( Z 2 - 1) ( Z - 2 - i ) 2/z 2 + 2 + 2 ben

Karmaşık fonksiyonları görselleştirirken , hem karmaşık bir girdi hem de çıktı gereklidir. Her karmaşık sayı iki boyutta temsil edildiğinden, karmaşık bir fonksiyonun görsel olarak grafiğini çizmek , yalnızca projeksiyonlarda mümkün olan dört boyutlu bir uzay algısını gerektirir . Bu nedenle, karmaşık işlevleri görselleştirmenin başka yolları tasarlanmıştır.

Olarak boyama alanı çıkış boyutları sırasıyla renk ve parlaklık, ile temsil edilmektedir. Karmaşık düzlemdeki her nokta , tipik olarak karmaşık sayının argümanını temsil eden renk ve büyüklüğü temsil eden parlaklık ile süslenmiştir . Karanlık noktalar modülü sıfıra yakın gösterir, daha parlak noktalar başlangıç ​​noktasından daha uzaktadır, derecelendirme süreksiz olabilir, ancak monoton olduğu varsayılır. Renkler genellikle şu adımlarla değişir:π/3için 0 ile 2 tt Eflatun için mavi, kırmızı, sarı, yeşil, mavi den. Bu grafiklere renk çarkı grafikleri denir . Bu, bilgileri kaybetmeden işlevleri görselleştirmenin basit bir yolunu sağlar. Görüntü gösterir için sıfır (2 + ± 1, i ) de ve direkler ± -2 -2 i .

Riemann yüzeyleri , karmaşık işlevleri görselleştirmenin başka bir yoludur. [ daha fazla açıklama gerekli ] Riemann yüzeyleri karmaşık düzlemin deformasyonları olarak düşünülebilir ; yatay eksenler gerçek ve sanal girdileri temsil ederken, tek dikey eksen yalnızca gerçek veya sanal çıktıyı temsil eder. Bununla birlikte, Riemann yüzeyleri, onları 180 derece döndürmek hayali çıktıyı gösterecek şekilde inşa edilmiştir ve bunun tersi de geçerlidir. Alan renklendirmesinin aksine, Riemann yüzeyleri z gibi çok değerli işlevleri temsil edebilir .

Tarih [ düzenle ]

Çözüm radikallerin (olmadan trigonometrik fonksiyonlar bir general) kübik denklemin kare kökleri içeren negatif sayılar her üç kökleri reel sayılar olduğunda, yardımıyla faktoring tarafından giderilemeyen bir durum rasyonel kök testi küp ise indirgenemez ( sözde casus irreducibilis ). Bu muamma İtalyan matematikçi Gerolamo Cardano'nun karmaşık sayıları 1545 civarında [17] kavramasına yol açtı , ancak onun anlayışı ilkeldi.

Genel polinomlar problemi üzerine yapılan çalışmalar nihayetinde cebirin temel teoremine yol açtı , bu da karmaşık sayılarla birinci veya daha yüksek derecedeki her polinom denklemine bir çözümün var olduğunu gösteriyor . Karmaşık sayılar böylece herhangi bir polinom denkleminin bir köke sahip olduğu cebirsel olarak kapalı bir alan oluşturur .

Birçok matematikçi karmaşık sayıların gelişimine katkıda bulundu. Karmaşık sayıların toplama, çıkarma, çarpma ve kök çıkarma kuralları İtalyan matematikçi Rafael Bombelli tarafından geliştirilmiştir . [18] Karmaşık sayılar için daha soyut bir biçimcilik , bu soyutlamayı kuaterniyonlar teorisine genişleten İrlandalı matematikçi William Rowan Hamilton tarafından daha da geliştirildi . [19]

İçin en erken kısacık referans kare kökler arasında negatif sayılar belki çalışmalarına oluştuğu söylenebilir Yunan matematikçi İskenderiye Kahramanı 1. yüzyıla içinde MS onun içinde, Stereometrica o görünüşte yanlışlıkla dikkate alır, imkansız bir hacmi kesik arasında Hellenistik matematikte negatif nicelikler düşünülmemiş ve Hero sadece pozitif ile değiştirilmiş olmasına rağmen, hesaplamalarında 81 - 144 = 3 i 7 terimine ulaşacak bir piramit ( 144 - 81= 3 7 ) . [20]

Karmaşık sayıları kendi başına bir konu olarak inceleme dürtüsü ilk olarak 16. yüzyılda İtalyan matematikçiler tarafından kübik ve kuartik polinomların kökleri için cebirsel çözümler keşfedildiğinde ortaya çıktı (bkz. Niccolò Fontana Tartaglia , Gerolamo Cardano ). Kısa süre sonra fark edildi (ama çok sonra kanıtlandı) [21] , bu formüllerin, kişi yalnızca gerçek çözümlerle ilgilense bile, bazen negatif sayıların kareköklerinin manipülasyonunu gerektirdiği. Örnek olarak, Tartaglia'nın x 3 = px + q [c] formundaki bir kübik denklem formülü , denklemin çözümünü verir. x 3 = x olarak

İlk bakışta bu saçma gibi görünüyor. Bununla birlikte, karmaşık sayılarla resmi hesaplamalar, z 3 = i denkleminin çözümleri olduğunu gösterir - i ,3 + i/2 ve - 3 + i/2. Tartaglia'nın kübik formülünde bunları sırasıyla -1 1/3 yerine koyarsak ve basitleştirerek, x 3 - x = 0'ın çözümleri olarak 0, 1 ve −1 elde edilir . Elbette bu özel denklem görünürde çözülebilir, ancak genel formüllerin gerçek köklerle kübik denklemleri çözmek için kullanılması durumunda, daha sonraki matematikçilerin titizlikle gösterdiği gibi, [d] karmaşık sayıların kullanılmasının kaçınılmaz olduğunu göstermektedir . Rafael Bombelli , kübik denklemlerin bu görünüşte paradoksal çözümlerini açıkça ele alan ilk kişiydi ve bu sorunları çözmeye çalışan karmaşık aritmetik için kurallar geliştirdi.

Bu miktarlar için "hayali" terimi , gerçek dışı doğalarını vurgulamak için sabırsızlanan René Descartes tarafından 1637'de icat edildi [22]

... bazen sadece hayali, yani her denklemde söylediğim kadar çok kişi hayal edilebilir, ancak bazen hayal ettiğimizle eşleşen bir miktar yoktur.
[ ... quelquefois seulement c'est-à-dire que l'on peut toujours en imaginer autant que j'ai dit en chaque équation, mais qu'il n'y a quelquefois aucune quantité qui qui qui qu'on hayal etmek. ]

Karıştırma başka bir kaynağı olduğu denklemi -1 2 = -1-1 = -1 cebirsel kimliği ile keyfi olarak tutarsız gibiydi birb = ab negatif olmayan gerçek sayılar için geçerlidir, a ve b ve biri a , b pozitif ve diğeri negatif olan karmaşık sayı hesaplamalarında da kullanılmıştır . Bu kimliğin (ve ilgili kimliğin yanlış kullanımı)1/a= 1/a) Her iki durumda , bir ve b negatif olsa bile Euler çileden. Bu zorluk, nihayetinde bu hataya karşı korunmak için −1 yerine özel i sembolünün kullanılmasına yol açtı . [ kaynak belirtilmeli ] Öyle olsa bile, Euler öğrencilere karmaşık sayıları bugün yaptığımızdan çok daha önce tanıtmanın doğal olduğunu düşünüyordu. Temel cebir ders kitabı Elements of Algebra'da , bu sayıları neredeyse bir kerede tanıtıyor ve daha sonra bunları doğal bir şekilde kullanıyor.

18. yüzyılda karmaşık sayılar daha geniş bir kullanım kazandı, çünkü karmaşık ifadelerin biçimsel manipülasyonunun trigonometrik fonksiyonları içeren hesaplamaları basitleştirmek için kullanılabileceği fark edildi. Örneğin, 1730 yılında Abraham de Moivre basitçe kendi adını taşıyan aşağıdaki tanınmış formülü ile ifade yeniden o açının trigonometrik fonksiyonlar güçlere bir açı tam katları arasında trigonometrik fonksiyonlar ile ilgili karmaşık kimlikler de belirtti de Moivre'nin formülü :

1748 yılında Leonard Euler daha da ileri giderek ve elde edilen Euler formülünü bir kompleks analiz : [23]

karmaşık güç serilerini resmi olarak manipüle ederek ve bu formülün herhangi bir trigonometrik kimliği çok daha basit üstel kimliklere indirgemek için kullanılabileceğini gözlemleyerek.

Karmaşık bir sayının karmaşık düzlemde ( yukarıda ) bir nokta olması fikri ilk olarak Caspar Wessel tarafından 1799'da [24] tanımlanmış olsa da, Wallis'in A Treatise of Cebebra'da 1685 gibi erken bir tarihte tahmin edilmişti . [25]

Wessel'in anısı, Kopenhag Akademisi Bildirilerinde yer aldı, ancak büyük ölçüde fark edilmedi. 1806'da Jean-Robert Argand, bağımsız olarak karmaşık sayılar üzerine bir broşür yayınladı ve cebirin temel teoremine dair titiz bir kanıt sağladı . [26] Carl Friedrich Gauss daha önce 1797'de teoremin esasen topolojik bir ispatını yayınlamıştı, ancak o sırada "-1'in karekökünün gerçek metafiziği" hakkındaki şüphelerini dile getirdi. [27] 1831'e kadar bu şüphelerin üstesinden geldi ve düzlemdeki noktalar olarak karmaşık sayılar üzerine tezini yayınladı, [28] [29] ( s 638 ) büyük ölçüde modern gösterim ve terminoloji oluşturmak.

Eğer kişi daha önce bu konuyu yanlış bir bakış açısıyla düşündüyse ve bu nedenle gizemli bir karanlık bulduysa, bu büyük ölçüde beceriksiz terminolojiye atfedilebilir. Biri +1, -1, −1 pozitif, negatif veya hayali (veya hatta imkansız) birimler olarak adlandırmasaydı, bunun yerine doğrudan, ters veya yan birimler olarak adlandırılsaydı, o zaman böyle karanlıktan neredeyse hiç bahsedilemezdi. - Gauss (1831) [29] ( s 638 ) [28]

19. yüzyılın başında, diğer matematikçiler bağımsız olarak karmaşık sayıların geometrik temsilini keşfettiler: Buée, [30] [31] Mourey , [32] Warren , [33] Français ve kardeşi Bellavitis . [34] [35]

İngiliz matematikçi GH Hardy , Gauss'un karmaşık sayıları 'gerçekten emin ve bilimsel bir şekilde' kullanan ilk matematikçi olduğunu, ancak Niels Henrik Abel ve Carl Gustav Jacob Jacobi gibi matematikçilerin Gauss'un 1831 tezini yayınlamadan önce bunları rutin olarak kullanması gerektiğini belirtti. [36]

Augustin Louis Cauchy ve Bernhard Riemann , Cauchy'nin davasında 1825 civarında başlayarak karmaşık analizin temel fikirlerini yüksek bir tamamlanma durumuna getirdi .

Teoride kullanılan ortak terimler esas olarak kuruculardan kaynaklanmaktadır. Argand adı cos φ + i sin φ yönü faktörü ve r = bir 2 + b 2 modülü ; [e] [38] Cauchy (1821) cos φ + i sin φ olarak indirgenmiş biçim (l'expression réduite) [39] adını verdi ve görünüşe göre argüman terimini ortaya attı ; Gauss , -1 için i'yi kullandı ,[f] terimi, kişiye karmaşık sayı için bir + çift , [g] ve adı verilen bir 2 + b 2 normu . [h] Genellikle cos φ + i sin φ için kullanılanifade yön katsayısı ,Hankel (1867), [40] ve modül için mutlak değer Weierstrass'tan kaynaklanmaktadır.

Genel teori üzerine daha sonra klasik yazarlar arasında Richard Dedekind , Otto Hölder , Felix Klein , Henri Poincaré , Hermann Schwarz , Karl Weierstrass ve diğerleri yer alır.

İlişkiler ve işlemler [ düzenle ]

Eşitlik [ değiştir ]

Karmaşık sayılar, gerçek sayılara benzer bir eşitlik tanımına sahiptir; iki karmaşık sayı a 1 + b 1 i ve a 2 + b 2 i eşittir ancak ve ancak hem gerçek hem de sanal kısımları eşitse, yani, eğer a 1 = a 2 ve b 1 = b 2 ise . Yazılmış Sıfır olmayan karmaşık sayılar kutupsal formda eşit, ancak ve ancak aynı büyüklük ve bağımsız değişkenler arasında bir tamsayı çarpan ile farklı ise olan 2 tt .

Sıralama [ düzenle ]

Gerçek sayıların aksine, karmaşık sayıların doğal bir sıralaması yoktur. Özellikle, karmaşık sayılarda toplama ve çarpma ile uyumlu doğrusal bir sıralama yoktur - karmaşık sayılar, sıralı bir alan yapısına sahip olamaz. Bir karelerin her önemsiz olmayan toplamı olduğundan, bu, örneğin bir sipariş alan olan ≠ 0 ve I 2 + 1 2 = 0 kareler önemsiz olmayan bir toplamıdır. Bu nedenle, karmaşık sayıların doğal olarak iki boyutlu bir düzlemde var olduğu düşünülür.

Eşlenik [ düzenle ]

Karmaşık düzlemde z ve eşlenik z'nin geometrik gösterimi

Kompleks bir eşlenik kompleks numarası z = x + yi verilir x - yi . Ya z ya da z * ile gösterilir . [41] Karmaşık sayılar üzerindeki bu tekli işlem , yalnızca temel işlemleri toplama, çıkarma, çarpma ve bölme uygulanarak ifade edilemez.

Geometrik olarak, Z ise "yansıma" arasında z gerçek eksen etrafında. İki kez konjuge etmek, orijinal karmaşık sayıyı verir

hangi bu işlem bir hale getirir involusyonu . Yansıma, z'nin hem gerçek kısmını hem de büyüklüğünü değiştirmeden bırakır , yani

ve

Z karmaşık sayının hayali kısmı ve argümanı, eşlenik altında işaretlerini değiştirir.

Argüman ve büyüklükle ilgili ayrıntılar için Polar formu bölümüne bakın .

Karmaşık bir sayının ürünü z = x + yi ve eşleniği, mutlak kare olarak bilinir . Her zaman negatif olmayan bir gerçek sayıdır ve her birinin büyüklüğünün karesine eşittir:

Bu özellik, belirli bir paydanın eşleniğine göre kesrin hem payını hem de paydasını genişleterek, karmaşık paydalı bir kesri gerçek paydalı eşdeğer bir kesire dönüştürmek için kullanılabilir. Bu işlem bazen paydanın " rasyonalizasyonu " olarak adlandırılır (son ifadedeki payda irrasyonel bir gerçek sayı olsa da), çünkü bir paydadaki basit ifadelerden kökleri çıkarma yöntemine benzer.

Karmaşık bir z sayısının gerçek ve sanal kısımları, eşlenim kullanılarak elde edilebilir:

Dahası, karmaşık bir sayı, ancak ve ancak kendi eşleniğine eşitse gerçektir.

Konjugasyon, temel karmaşık aritmetik işlemlere dağılır:

Konjugasyon, bir çizgi hakkında olanlardan daha genel olan yansımaları inceleyen bir geometri dalı olan inversif geometride de kullanılır . Gelen elektrik devrelerinin ağ analizi , kompleks bir eş zaman eşdeğer empedans bulunmasında kullanılan maksimum güç transferi teoremi aranmaktadır.

Toplama ve çıkarma [ düzenle ]

İki karmaşık sayının eklenmesi, bir paralelkenar oluşturularak geometrik olarak yapılabilir.

İki karmaşık sayılar bir ve b en kolay olan katma ayrı ayrı summands onların gerçek ve hayali parçaları ekleyerek. Demek ki:

Benzer şekilde çıkarma işlemi şu şekilde yapılabilir:

Karmaşık düzlemde karmaşık sayılar görselleştirme kullanılarak, eklenen aşağıdaki geometrik yorumu vardır: iki karmaşık sayının toplamı bir ve b , kompleks düzlemin noktalar olarak yorumlanır, bir yapı ile elde edilen nokta paralel kenar üç köşe gelen O ve a ve b olarak işaretlenmiş okların noktaları ( bir doğru üzerinde olmamak kaydıyla). Aynı şekilde, bu kredi arama bir , B , sırasıyla, ve paralelkenar dördüncü noktası x üçgenler OAB ve Xba olan uyumlu. Çıkarma bir görselleştirme negatif ilave dikkate alınarak elde edilebilir çıkanın .

Çarpma [ düzenle ]

Bir karmaşık sayıdaki gerçek kısım, sanal kısım ve belirsiz i'nin tümü kendi içinde sayı olarak kabul edildiğinden, z = x + yi ve w = u + vi olarak verilen iki karmaşık sayı, dağılımın kuralları altında çarpılır. özellik , değişmeli özellikler ve tanımlayıcı özellik i 2 = −1 aşağıdaki şekilde

Karşılıklı ve bölünme [ değiştir ]

Konjugasyon kullanılarak, sıfırdan farklı bir karmaşık sayının z = x + yi tersi her zaman şu şekilde bölünebilir:

çünkü sıfır olmayan anlamına gelir x 2 + y 2 sıfırdan büyüktür.

Bu isteğe bağlı bir karmaşık sayının bir bölümü ifade etmek için kullanılabilir ağırlık = u + vi sıfır olmayan bir karmaşık sayı ile z olarak

Kutupsal biçimde çarpma ve bölme [ değiştir ]

2 + i (mavi üçgen) ve 3 + i (kırmızı üçgen) çarpımı . Kırmızı üçgen mavi birinin köşe eşleşecek şekilde döndürülmüş ve gerilir √ 5 , uzunluğu hipotenüs mavi üçgenin.

Çarpma, bölme ve üs alma formülleri, Kartezyen koordinatlardaki karşılık gelen formüllerden kutupsal formda daha basittir. İki karmaşık sayı verildiğinde , trigonometrik özdeşlikler nedeniyle z 1 = r 1 (cos  φ 1 + i  sin  φ 1 ) ve z 2 = r 2 (cos  φ 2 + i  sin  φ 2 )

türetebiliriz

Başka bir deyişle, mutlak değerler çarpılır ve argümanlar, ürünün kutupsal şeklini vermek için eklenir. Örneğin, i ile çarpmak saat yönünün tersine çeyrek dönüşe karşılık gelir , bu da i 2 = -1 verir . Sağdaki resim, çarpımını göstermektedir.

5 + 5 i'nin gerçek ve sanal kısmı eşit olduğundan, bu sayının argümanı 45 derece veya π / 4'tür ( radyan olarak ). Öte yandan, kırmızı ve mavi üçgenlerin başlangıç ​​noktasındaki açıların da toplamı sırasıyla arctan (1/3) ve arctan (1/2) 'dir. Böylece formül

tutar. Olarak açının fonksiyon oldukça verimli bir şekilde yaklaşık olarak hesaplanabilir, bu gibi formüller - olarak bilinen Machin benzeri formüller yüksek hassasiyetli yaklaşık değerler için kullanılır - tt .

Benzer şekilde, bölme şu şekilde verilir:

Karekök [ düzenle ]

Karekök bir + çift ile ( b ≠ 0 ) vardır , burada

ve

burada SGN olan sinyalnum fonksiyonu. Bu, a + bi elde etmek için kareyi alarak görülebilir . [42] [43] ile Burada adlandırılan modülü arasında bir + çift ve kare kök işareti olarak adlandırılır negatif olmayan gerçek kısmı, kare kökü belirtir temel kare kökü ; ayrıca burada z = a + bi . [44]

Üstel işlev [ düzenle ]

Üstel fonksiyon , her karmaşık sayısı tanımlanabilir z tarafından güç seri

sonsuz bir yakınsama yarıçapına sahip olan .

Üstel fonksiyonun 1'deki değeri Euler sayısıdır

Eğer z gerçek bir sahiptir Analitik devam her karmaşık bir değer, bu eşitlik uzanan sağlar z ve böylece taban ile kompleks üs tanımlamak e kadar

Fonksiyonel denklem [ düzenle ]

Üstel fonksiyon, fonksiyonel denklemi karşılar Bu, ya her iki üyenin kuvvet serisi genişlemesini karşılaştırarak ya da denklemin kısıtlamasından gerçek argümanlara analitik devam ettirerek kanıtlanabilir.

Euler formülü [ düzenle ]

Euler formülü , herhangi bir y gerçek sayısı için ,

Fonksiyonel denklem, x ve y gerçekse, birinin sahip olduğu anlamına gelir.

bu üstel fonksiyonun gerçek ve hayali kısımlarına ayrıştırılmasıdır.

Karmaşık logaritma [ düzenle ]

Gerçek durumda, doğal logaritma , üstel fonksiyonun tersi olarak tanımlanabilir . Bunu karmaşık alana genişletmek için Euler formülünden başlayabiliriz. Bu, karmaşık bir sayının kutupsal biçimde yazılmasının

ile daha sonra

olarak karmaşık logaritma bir uygun bir ters var

Kosinüs ve sinüs periyodik fonksiyonları için, ancak, bir tam katı eklenmesi 2 tt için cp değişmez z . Örneğin, E = E 3 = -1 , her ikisi de çok ve 3 doğal logaritması için olası değerleri -1 .

Bu nedenle, karmaşık logaritma çok değerli bir işlev olarak tanımlanmayacaksa

bir dal kesimi kullanmak ve ortak etki alanını kısıtlamak zorunda , bu da önyargılı işlevle sonuçlanır

Eğer bir pozitif olmayan bir gerçek sayı (pozitif ya da olmayan bir reel sayı), elde edilen değil temel değer kompleks logaritmanın elde edilir - π < φ < π . Bir olan analitik fonksiyon negatif reel sayılar dışında, ama herhangi bir olumsuz gerçek sayı sürekli olan bir fonksiyona uzar edilemez asıl değer, ln z = İn (- z ) + . [ben]

Üs alma [ düzenle ]

Eğer x > 0 gerçek ve bir Z kompleksi, üs olarak tanımlanmaktadır

burada ln doğal logaritma belirtmektedir.

Bu formülü karmaşık x değerlerine genişletmek doğal görünüyor , ancak karmaşık logaritmanın gerçekten bir işlev değil, çok değerli bir işlev olmasından kaynaklanan bazı zorluklar var .

Buradan, z yukarıdaki gibiyse ve t başka bir karmaşık sayı ise, üs alma birden çok değerli fonksiyondur.

Tamsayı ve kesirli üsler [ değiştir ]

Bir karmaşık sayı 6. köklerine 2. geometrik gösterimi z kutupsal olarak, yeniden burada r = | z  | ve φ = arg z . Eğer z gerçek, φ = 0 ya da π . Ana kökler siyah olarak gösterilmiştir.

Yukarıdaki formülde varsa T bir tam sayı olduğu, bundan sonra da sinüs ve kosinüs bağımsız k . Bu nedenle, n üssü bir tamsayı ise, o zaman z n iyi tanımlanmıştır ve üs alma formülü de Moivre'nin formülünü basitleştirir :

N, n- inci kökleri kompleks numarası z ile verilir

için 0 ≤ kn - 1 . (Burada olağan (pozitif) olan n pozitif reel sayı inci kök r .) Sinüs ve kosinüs periyodik olduğundan, diğer tamsayı değerleri k diğer değerleri vermeyin.

İken , n pozitif bir reel sayı th kök r olacak şekilde seçilir pozitif reel sayı C tatmin c , n = r , belirli bir kompleks ayırt eden doğal bir yolu yoktur , n , bir karmaşık sayının inci kökü. Bu nedenle, n- inci bir kök olduğu , n -valued fonksiyonu arasında z . Bu, pozitif gerçek sayılar durumunun aksine, kişinin

sol taraf n değerden oluştuğu ve sağ taraf tek bir değer olduğu için.

Özellikler [ düzenle ]

Alan yapısı [ düzenle ]

Karmaşık sayılar kümesi bir alandır . [45] Kısaca, bu şu gerçeklerin geçerli olduğu anlamına gelir: ilk olarak, herhangi iki karmaşık sayı eklenebilir ve çarpılarak başka bir karmaşık sayı elde edilebilir. İkincisi, herhangi bir karmaşık sayı z için , toplamaya göre ters - z de bir karmaşık sayıdır; ve üçüncüsü, sıfır olmayan her karmaşık sayı, karşılıklı bir karmaşık sayıya sahiptir. Dahası, bu işlemler bir dizi yasayı karşılar, örneğin herhangi iki karmaşık sayı z 1 ve z 2 için toplama ve çarpmanın değişme yasası :

Bu iki yasa ve bir alandaki diğer gereksinimler, gerçek sayıların kendilerinin bir alan oluşturduğu gerçeği kullanılarak yukarıda verilen formüllerle kanıtlanabilir.

Gerçeklerden farklı olarak sıralı bir alan değildir , yani toplama ve çarpma ile uyumlu bir z 1 < z 2 bağıntısı tanımlamak mümkün değildir . Aslında, herhangi bir sıralı alanda, herhangi bir öğenin karesi zorunlu olarak pozitiftir, bu nedenle i 2 = −1 , üzerinde bir sıralamanın varlığını engeller . [46]

Bir matematiksel konu veya yapının temelindeki alan karmaşık sayılar alanı olduğunda, konunun adı genellikle bu gerçeği yansıtacak şekilde değiştirilir. Örneğin: karmaşık analiz , karmaşık matris , karmaşık polinom ve karmaşık Lie cebiri .

Polinom denklemlerin çözümleri [ değiştir ]

Herhangi bir karmaşık sayı verildiğinde ( katsayılar olarak adlandırılır ) a 0 , ...,  bir n , denklem

yüksek katsayılardan en az birinin a 1 , ...,  a n sıfır olmaması koşuluyla en az bir karmaşık çözümü z'ye sahiptir . [47] Bu ifadesidir cebir temel teoremi bölgesinin Carl Friedrich Gauss ve Jean Rond DAlembert . Bu nedenle, cebirsel olarak kapalı alan olarak adlandırılır . Bu özellik için tutmaz rasyonel sayılar alanının (polinom x 2 2 - beri, rasyonel bir kök yoktur √ 2 rasyonel bir sayı değildir) ne de gerçek sayılar ( x 2 + a polinomunun a > 0 için gerçek bir kökü yoktur , çünkü x'in karesi herhangi bir x gerçek sayısı için pozitiftir ).

Liouville teoremi gibi analitik yöntemlerle veya sargı sayısı gibi topolojik yöntemlerle veya Galois teorisini ve tek dereceli herhangi bir gerçek polinomun en az bir gerçek köke sahip olduğu gerçeğini birleştiren bir kanıtla bu teoremin çeşitli kanıtları vardır.

Bu gerçek nedeniyle, herhangi bir cebirsel olarak kapalı alan için geçerli olan teoremler, to için geçerlidir . Örneğin, herhangi bir boş olmayan karmaşık kare matrisin en az bir (karmaşık) öz değeri vardır .

Cebirsel karakterizasyon [ değiştir ]

alanı aşağıdaki üç özelliğe sahiptir:

  • Birincisi, 0 karakteristiğine sahiptir. Bu , herhangi bir sayıda toplam için 1 + 1 + ⋯ + 1 ≠ 0 olduğu anlamına gelir (hepsi bire eşittir).
  • İkincisi, onun aşma derecesi üzerinde , asal alan bir olduğu sürekliliğinin kardinalitesi .
  • Üçüncüsü, cebirsel olarak kapalıdır (yukarıya bakın).

Bu özelliklere sahip herhangi bir alanın izomorfik (alan olarak) ℂ olduğu gösterilebilir . Örneğin, cebirsel kapatma bölgesinin ℚ p de tatmin bu üç özelliğin, yani bu iki alanın (alan olarak değil, topolojik alanlar gibi) izomorfik. [48] Ayrıca, , karmaşık Puiseux serilerinin alanına izomorftur . Bununla birlikte, bir izomorfizmin belirtilmesi , seçim aksiyomunu gerektirir . Bu cebirsel karakterizasyonun bir başka sonucu, ℂ'nin ℂ'ya izomorfik olan birçok uygun alt alanı içermesidir .

Topolojik alan olarak karakterizasyon [ düzenle ]

ℂ'nin önceki karakterizasyonu yalnızca ℂ'nin cebirsel yönlerini açıklar . Yani analiz ve topoloji gibi alanlarda önem arz eden yakınlık ve süreklilik özellikleri ele alınmamaktadır. Bir topolojik alan olarak ℂ'nin aşağıdaki açıklaması (yani, yakınsama kavramına izin veren bir topoloji ile donatılmış bir alan ) topolojik özellikleri hesaba katar. aşağıdaki üç koşulu karşılayan sıfırdan farklı elemanların bir alt kümesi P (yani pozitif gerçek sayılar kümesi) içerir:

  • P , toplama, çarpma ve ters alma altında kapalıdır.
  • Eğer X ve Y farklı öğeleridir P daha sonra, ya X - Y veya Y - X olan P .
  • Eğer S herhangi boş olmayan bir alt kümesi olup , P , daha sonra S + P = x + p bazıları için , x in .

Ayrıca, aşikar olmayan sahip involutive otomorfizm xx * öyle ki (yani kompleks çekimi), X X * olduğu P sıfır olmayan herhangi için X de .

Bu özelliklere sahip herhangi bir F alanına , B ( x ,  p ) = {  y | kümeleri alınarak bir topoloji verilebilir. p - ( Y - X ) ( Y - X ) * ∈ P  }  bir şekilde bir baz , burada X alanı üzerinde aralıkları s boyunca aralıklar P . Bu topoloji ile F , ℂ 'ye bir topolojik alan olarak izomorfiktir .

Sadece bağlı yerel kompakt topolojik alanlar şunlardır ve . Bu başka karakterizasyonu verir beri, bir topolojik alan olarak ayırt edilebilir sıfırdan farklı karmaşık sayılar, çünkü bağlı sıfırdan farklı reel sayılar değil iken,. [49]

Biçimsel yapı [ düzenle ]

Sıralı çiftler olarak yapı [ düzenle ]

William Rowan Hamilton grubu tanımlamak için bir yaklaşım kişiye karmaşık sayılar [50] grubu olarak 2 arasında sıralı çiftleri ( a ,  b ) Toplama ve çoğalması için aşağıdaki kurallar empoze edildiği gerçek sayılar,: [45]

Bu durumda ( a ,  b ) yi a + bi olarak ifade etmek sadece bir gösterim meselesidir .

Bölüm alanı olarak inşaat [ düzenle ]

Bu düşük seviyeli yapı, karmaşık sayıların yapısını doğru bir şekilde tanımlasa da , aşağıdaki eşdeğer tanım, ℂ'nin cebirsel doğasını daha çabuk ortaya koymaktadır . Bu karakterizasyon, alanlar ve polinomlar kavramına dayanır. Alan, örneğin rasyonel sayılardan aşina olduğu gibi davranan toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemleriyle donatılmış bir kümedir. Örneğin, dağıtım yasası

bir alanın herhangi bir x , y ve z öğesi için tutulmalıdır . Gerçek sayıların kümesi bir alan oluşturur. Gerçek katsayılara sahip bir polinom p ( X ) , formun bir ifadesidir

burada a 0 , ...,  a n gerçek sayılardır. Polinomların olağan eklenmesi ve çarpımı, bu tür tüm polinomların kümesini ℝ [ X ] bir halka yapısıyla donatır . Bu halka, gerçek sayılar üzerindeki polinom halkası olarak adlandırılır .

Karmaşık sayılar kümesi bölüm halkası ℝ [ X ] / ( X 2 + 1) olarak tanımlanır . [51] Bu uzantı alanı, −1'in iki karekökünü , yani sırasıyla X ve - X'in ( kosetleri) içerir . () 1 ve X'in kosetleri gerçek bir vektör uzayı olarak ℝ [ X ] / ( X 2 + 1) temelini oluşturur , bu da uzantı alanının her bir elemanının doğrusal bir kombinasyon olarak benzersiz bir şekilde yazılabileceği anlamına gelir. bu iki unsurda. Benzer şekilde, uzantı alanının öğeleri , gerçek sayıların sıralı çiftleri ( a ,  b ) olarak yazılabilir . Çünkü bölüm halkası, bir alandır X 2 + 1 olduğu indirgenemez fazla Ürettiği idealdir, böylece maksimal .

ℝ [ X ] halkasındaki toplama ve çarpma formülleri , X 2 = −1 ilişkisini modulo, sıralı çiftler olarak tanımlanan karmaşık sayıların toplanması ve çarpılması formüllerine karşılık gelir. Yani alan iki tanımları olan izomorf (alanlar gibi).

O kabul etmek bir olduğundan cebirsel kapalıdır, cebirsel uzantısı ait bu yaklaşımda, nedenle cebirsel kapanış ait .

Karmaşık sayıların matris gösterimi [ değiştir ]

Karmaşık sayılar a + bi , aşağıdaki formdaki 2 × 2 matrislerle de temsil edilebilir.

Burada a ve b girişleri gerçek sayılardır. Bu tür iki matrisin toplamı ve çarpımı yine bu formda olduğundan, bu matrisler 2 × 2 halka matrislerinin bir alt halkasını oluşturur .

Basit bir hesaplama, haritanın

karmaşık sayılar alanından bu matrislerin halkasına bir halka izomorfizmidir . Bu izomorfizm gelen matrisin determinantı ve bir karmaşık sayının konjügatı ile bir karmaşık sayının mutlak değerinin kare ilişkilendiren devrik matris.

Bir vektör üzerinde matrisin aksiyon ( x , y ) çarpımına tekabül x + iy göre bir + ib . Özellikle, determinant 1 ise , matrisin forma sahip olacağı şekilde gerçek bir t sayısı vardır.

Bu durumda, matrisin vektörler üzerindeki etkisi ve karmaşık sayı ile çarpımının her ikisi de t açısının dönüşüdür .

Karmaşık analiz [ düzenle ]

Renk çarkı grafik bir sin (1 / z ) . İçindeki siyah kısımlar, büyük mutlak değerlere sahip sayıları ifade eder.

Karmaşık bir değişkenin fonksiyonlarının incelenmesi, karmaşık analiz olarak bilinir ve uygulamalı matematikte olduğu kadar matematiğin diğer dallarında muazzam pratik kullanıma sahiptir . Çoğunlukla, gerçek analizdeki ifadeler için en doğal kanıtlar veya çift sayı teorisi , karmaşık analiz tekniklerini kullanır ( bir örnek için asal sayı teoremine bakın ). Genellikle iki boyutlu grafikler olarak gösterilen gerçek fonksiyonların aksine, karmaşık fonksiyonlar dört boyutlu grafiklere sahiptir ve dört boyut önermek için üç boyutlu bir grafiğin renk kodlamasıyla veya karmaşık fonksiyonun dinamik dönüşümü canlandırılarak yararlı bir şekilde gösterilebilir . karmaşık düzlem.

Karmaşık üstel ve ilgili işlevler [ değiştir ]

(Gerçek) analizde yakınsak seriler ve sürekli fonksiyonlar kavramları, karmaşık analizde doğal analoglara sahiptir. Karmaşık sayılar dizisinin ancak ve ancak gerçek ve hayali kısımları birleştiğinde birleştiği söylenir . Bu, gerçek sayıların mutlak değerinin karmaşık sayılardan biri ile değiştirildiği sınırların (ε, limits) tanımına eşdeğerdir . Daha soyut bir bakış açısından, , metrik ile donatılmış

özellikle üçgen eşitsizliğini içeren tam bir metrik uzaydır

herhangi iki karmaşık sayı için z 1 ve z 2 .

Gerçek analizde olduğu gibi, bu yakınsama kavramı, bir dizi temel işlevi oluşturmak için kullanılır : üstel fonksiyon exp z , ayrıca yazılan e z , sonsuz seri olarak tanımlanır.

Sinh ve cosh hiperbolik fonksiyonlarının yanı sıra sinüs ve kosinüs gerçek trigonometrik fonksiyonları tanımlayan seriler de değişmeden karmaşık argümanlara taşınır. Tanjant gibi diğer trigonometrik ve hiperbolik fonksiyonlar için, tanımlayıcı seriler tüm karmaşık değerler için yakınsamadığından işler biraz daha karmaşıktır. Bu nedenle, ya sinüs, kosinüs ve üstel olarak ya da eşdeğer olarak, analitik devam yöntemi kullanılarak tanımlanmalıdır .

Euler'in formülü şu şekildedir:

herhangi bir gerçek sayı için φ , özellikle

Gerçek sayılar durumda farklı olarak, bir orada sonsuzluk karmaşık çözümler arasında z denkleminin

herhangi bir karmaşık sayı için w ≠ 0 . Tür bir çözüm olduğu gösterilebilir z adlandırılan - karmaşık logaritması arasında ağırlık - tatmin

burada arg, yukarıda tanımlanan argümandır ve (gerçek) doğal logaritmada . Arg, çok değerli bir işlev olduğundan , yalnızca 2 π'un katlarına kadar benzersiz olduğundan , günlük de birden çok değerlidir. Logun temel değeri , genellikle sanal bölümü (- π , π ] aralığıyla sınırlayarak alınır .

Karmaşık üs alma z ω şu şekilde tanımlanır:

ve çok değerlidir, ancak ω bir tam sayıdır. İçin w = 1 / n , bir doğal sayı , n , bu kurtarır olmayan teklik N inci kökleri yukarıda.

Karmaşık sayılar, gerçek sayılardan farklı olarak, genel olarak değiştirilmemiş güç ve logaritma kimliklerini karşılamaz, özellikle de saf bir şekilde tek değerli işlevler olarak ele alındığında; bkz güç ve logaritma kimliklerin başarısızlığını . Örneğin, tatmin etmiyorlar

Denklemin her iki tarafı, burada verilen karmaşık üs alma tanımına göre birden çok değerlidir ve soldaki değerler sağdakilerin bir alt kümesidir.

Holomorfik fonksiyonlar [ düzenle ]

Bir f  : ann fonksiyonu , Cauchy – Riemann denklemlerini karşılıyorsa holomorfik olarak adlandırılır . Örneğin, herhangi bir ℝ-doğrusal harita şeklinde yazılabilir

karmaşık katsayılarla a ve b . Bu harita, ancak ve ancak b = 0 ise holomorfiktir . İkinci özet gerçek türevlenebilir, ancak Cauchy-Riemann denklemlerini karşılamaz .

Karmaşık analiz, gerçek analizde görünmeyen bazı özellikleri gösterir. Örneğin, herhangi iki holomorfik fonksiyonlar f ve g bir keyfi küçük katılıyorum açık alt ait mutlaka her yerde kabul ediyorum. Meromorfik fonksiyonlar , yerel olarak f ( z ) / ( z - z 0 ) n olarak yazılabilen ve holomorfik f fonksiyonuna sahip fonksiyonlar , hala holomorf fonksiyonların bazı özelliklerini paylaşmaktadır. Diğer işlevler , z = 0'daki günah (1 / z ) gibi temel tekilliklere sahiptir..

Uygulamalar [ düzenle ]

Karmaşık sayıların sinyal işleme , kontrol teorisi , elektromanyetizma , akışkanlar dinamiği , kuantum mekaniği , haritacılık ve titreşim analizi gibi birçok bilimsel alanda uygulamaları vardır . Bu uygulamalardan bazıları aşağıda açıklanmıştır.

Geometri [ düzenle ]

Şekiller [ düzenle ]

Düzlemdeki doğrusal olmayan üç nokta , üçgenin şeklini belirler . Noktaları karmaşık düzlemde konumlandıran bir üçgenin bu şekli, karmaşık aritmetik ile şu şekilde ifade edilebilir:

Karmaşık düzlem, sezgisel şekil kavramına karşılık gelen ve benzerliği tanımlayan öteleme veya genişleme ( afin dönüşüm ile ) ile dönüştürüldüğünde , bir üçgenin şekli aynı kalacaktır . Böylece her üçgen , aynı şekle sahip bir üçgenler benzerlik sınıfındadır . [52]

Fraktal geometri [ değiştir ]

Mandelbrot, etiketli gerçek ve hayali eksenlere sahip.

Mandelbrot kümesi kompleks düzlemde oluşturulan bir fraktal popüler bir örnektir. Her bir konum çizilerek tanımlandığı dizisi iterating etmez sapmak zaman Yinelemeli sonsuz. Benzer şekilde Julia kümeleri , sabit kaldığı yerler dışında aynı kurallara sahiptir .

Üçgenler [ düzenle ]

Her üçgenin benzersiz bir Steiner inellipse vardır - üçgenin içinde bir elips ve üçgenin üç kenarının orta noktalarına teğet. Odaklar bir üçgen Steiner inellipse ile uyumlu olarak, aşağıdaki gibi bulunabilir Marden teoremi : [53] [54] Göstermek gibi karmaşık düzlemde üçgenin köşe bir = X bir + y A i , b = x B + y B i ve c = x C + y C i. Kübik denklemi yazın, türevini alın ve (ikinci dereceden) türevi sıfıra eşitleyin. Marden'ın Teoremi , bu denklemin çözümlerinin Steiner inellipse'in iki odak noktasının yerini gösteren karmaşık sayılar olduğunu söyler.

Cebirsel sayı teorisi [ değiştir ]

Cetvel ve pusula kullanarak normal bir beşgen yapımı .

Yukarıda bahsedildiği gibi, herhangi bir sabit olmayan polinom denkleminin (karmaşık katsayılarda) ℂ'da bir çözümü vardır . Bir fortiori, denklem rasyonel katsayılara sahipse aynı şey geçerlidir. Bu tür denklemlerin kökleri cebirsel sayılar olarak adlandırılır - bunlar cebirsel sayı teorisinde çalışmanın temel amaçlarından biridir . Kıyasla , cebirsel kapatılması aynı zamanda tüm cebirsel numaralarını içeren, geometrik açısından kolay anlaşılır olma avantajına sahiptir. Bu şekilde, cebirsel yöntemler geometrik soruları incelemek için kullanılabilir ve bunun tersi de geçerlidir. Cebirsel yöntemleri sayesinde, daha özel bir makine uygulayarak alan teorisine göre numarası alanınaBirliğin köklerini içeren , sadece pergel ve cetvel kullanarak normal bir nonagon inşa etmenin mümkün olmadığı gösterilebilir - tamamen geometrik bir problem.

Başka bir örnek Gauss tam sayıları , yani x + iy formundaki sayılardır , burada x ve y tam sayılardır ve karelerin toplamlarını sınıflandırmak için kullanılabilir .

Analitik sayı teorisi [ değiştir ]

Analitik sayı teorisi, analitik yöntemlerin kullanılabileceği karmaşık sayılar olarak kabul edilebilmeleri gerçeğinden yararlanarak, genellikle tam sayılar veya rasyonel sayılar olan sayıları inceler. Bu, karmaşık değerli fonksiyonlarda sayı-teorik bilgilerin kodlanmasıyla yapılır. Örneğin, Riemann zeta fonksiyonu ζ ( s ) asal sayıların dağılımı ile ilgilidir .

Hatalı integraller [ düzenle ]

Uygulamalı alanlarda, karmaşık sayılar genellikle karmaşık değerli fonksiyonlar aracılığıyla belirli gerçek değerli uygunsuz integralleri hesaplamak için kullanılır . Bunu yapmak için birkaç yöntem vardır; kontur entegrasyon yöntemlerine bakınız .

Dinamik denklemler [ düzenle ]

Olarak diferansiyel denklem , her şeyden önce karmaşık kökleri bulmak için ortak olan r ait karakteristik denkleminin a lineer diferansiyel denklem veya denklem ve form baz fonksiyonları açısından sistemini çözmek için girişimi f ( t ) = E oda sıcaklığı . Benzer şekilde, fark denklemlerinde , sistemi f ( t ) = r t formundaki temel fonksiyonlar açısından çözmeye çalışmak için fark denklem sisteminin karakteristik denkleminin karmaşık kökleri r kullanılır .

Uygulamalı matematikte [ değiştir ]

Kontrol teorisi [ değiştir ]

Olarak kontrol teori , sistemler genellikle dönüştürülmüş olan zaman alanına için frekans alanında kullanarak Laplace dönüşümü . Sistemin sıfırları ve kutupları daha sonra karmaşık düzlemde analiz edilir . Köklerin geometrik , Nyquist arsa ve Nichols arsa teknikleri kompleks düzlemin tüm kullanırlar.

Kök yer eğrisi yönteminde, sıfırların ve kutupların sol veya sağ yarı düzlemlerde olması, yani gerçek kısmı sıfırdan büyük veya küçük olması önemlidir. Doğrusal, zamanla değişmeyen (LTI) bir sistemin kutupları varsa

  • sağ yarı düzlemde kararsız olacak ,
  • hepsi sol yarı düzlemde, kararlı olacak ,
  • hayali eksende marjinal istikrara sahip olacaktır .

Bir sistemde sağ yarı düzlemde sıfırlar varsa, bu minimum olmayan bir faz sistemidir.

Sinyal analizi [ düzenle ]

Karmaşık sayılar, periyodik olarak değişen sinyaller için uygun bir açıklama için sinyal analizinde ve diğer alanlarda kullanılır . Gerçek fiziksel büyüklükleri temsil eden verili gerçek fonksiyonlar için, genellikle sinüsler ve kosinüsler cinsinden, karşılık gelen karmaşık fonksiyonlar dikkate alınır, bunların gerçek kısımları orijinal miktarlardır. Bir için sinüs dalgasının belirli bir bölgesinin sıklığı , mutlak değer | z | karşılık gelen z olan genlik ve bağımsız değişken Arg z olan faz .

Eğer Fourier analizi , periyodik fonksiyonların bir toplamı olarak verilen bir gerçek değerli sinyal yazmak için kullanılır, bu periyodik fonksiyonlar genellikle formun kompleks değerli fonksiyonların olarak yazılır

ve

burada ω açısal frekansı temsil eder ve karmaşık sayı A yukarıda açıklandığı gibi fazı ve genliği kodlar.

Bu kullanım, dijital ses sinyallerini, hareketsiz görüntüleri ve video sinyallerini iletmek, sıkıştırmak , geri yüklemek ve başka şekilde işlemek için Fourier analizinin (ve dalgacık analizinin) dijital versiyonlarını kullanan dijital sinyal işleme ve dijital görüntü işlemeye de genişletilmiştir .

AM radyonun genlik modülasyonunun iki yan bandı ile ilgili başka bir örnek şudur:

Fizikte [ değiştir ]

Elektromanyetizma ve elektrik mühendisliği [ değiştir ]

Gelen elektrik mühendisliği , Fourier dönüşümü değişen analiz etmek için kullanılır gerilimleri ve akımları . Dirençlerin , kapasitörlerin ve indüktörlerin tedavisi, daha sonra son ikisi için hayali, frekansa bağlı dirençler getirilerek ve üçünü de empedans adı verilen tek bir karmaşık sayıda birleştirerek birleştirilebilir . Bu yaklaşıma fazör hesabı denir .

Elektrik mühendisliğinde hayali birim, genellikle elektrik akımını belirtmek için kullanılan I ile karıştırılmaması için j ile veya daha özel olarak, genel olarak anlık elektrik akımını belirtmek için kullanımda olan i ile gösterilir .

Yana voltaj AC olarak devre salınım, aşağıdaki şekilde temsil edilebilir

Ölçülebilir miktarı elde etmek için gerçek kısım alınır:

Karmaşık değerli sinyal V ( t ) , gerçek değerli, ölçülebilir sinyal v ( t ) ' nin analitik temsili olarak adlandırılır .[55]

Akışkanlar dinamiği [ değiştir ]

Gelen sıvı dinamiği , kompleks fonksiyonlar tarif etmek için kullanılmaktadır , iki boyutta potansiyel akım .

Kuantum mekaniği [ değiştir ]

Karmaşık sayı alanı, kuantum mekaniğinin matematiksel formülasyonlarına özgüdür ; burada karmaşık Hilbert uzayları , uygun ve belki de en standart olan böyle bir formülasyon için bağlam sağlar. Kuantum mekaniğinin orijinal temel formülleri - Schrödinger denklemi ve Heisenberg'in matris mekaniği - karmaşık sayılardan yararlanır.

Görelilik [ düzenle ]

Gelen özel ve genel görelilik , metrik için bazı formüller uzay- tek hayali olmaya uzay-zaman sürekliliğinin zaman bileşeni alırsa daha basit hale gelir. (Bu yaklaşım klasik görelilikte artık standarttır, ancak önemli bir şekilde kullanılan içinde kuantum alan teorisinin .) Karmaşık sayılar için gerekli olan spinörleri bir genelleme vardır, tensörlerle görelilikte kullandı.

Genellemeler ve ilgili kavramlar [ değiştir ]

İ , j ve k ile çarpma döngülerini gösteren Cayley Q8 kuaterniyon grafiği

Alanını genişleten bir işlem reals için olarak bilinen Cayley- Dickson yapı . Daha yüksek boyutlara taşınarak (gerçek vektör uzayı olarak) sırasıyla boyut 4 ve 8 olan kuaterniyonlar ve oktonyonlar elde edilebilir. Bu bağlamda, karmaşık sayılar ikili olarak adlandırılır . [56]

Aynı yapıyı gerçekten uygulayarak sipariş özelliğinin kaybolması gibi, gerçek ve karmaşık sayılardan aşina olunan özellikler her uzantı ile birlikte kaybolur. Quaternions olan kaybetmek Yerdeğiştirme, x · yY · X bir quaternions için x ,  y , ve çarpma oktonyon cebirleri ilave değişmeli olarak değil, birleştirici olduğu başarısız: ( x · y ) · Zx · ( y · z ) bazı oktonyonlar için x ,  y,  z .

Reals, karmaşık sayılar, kuaterniyonlar ve oktonyonu hepsi normlu bölünme cebiri üzerinde By Hurwitz teoremi sadece olanlardır; Cayley-Dickson inşaatının bir sonraki adımı olan sedenyonlar bu yapıya sahip olamamaktadır .

Cayley- Dickson yapı yakından ilgilidir normal temsil arasında düşünce bir şekilde - cebir (bir tabana göre bir çarpma ile -vector boşluk), (1,  ı ) . Bu şu anlama gelir: -doğrusal harita

bazı sabit karmaşık sayılar için w , 2 × 2 matris ile temsil edilebilir (bir temel seçildikten sonra). (1,  i ) temeli ile ilgili olarak , bu matris

diğer bir deyişle, yukarıdaki karmaşık sayıların matris gösterimi ile ilgili bölümde bahsedilen. Bu bir iken doğrusal gösterimi ait 2 × 2 gerçek matrislerde, sadece bir değil. Herhangi bir matris

Kare kimlik matrisinin negatif olduğunu özelliği vardır: J 2 = - ı . Sonra

aynı zamanda sahaya izomorfiktir ve üzerinde alternatif bir kompleks yapı verir. Bu, lineer kompleks yapı kavramı ile genelleştirilir .

Hiper karmaşık sayılar da genelleştirir ve Örneğin, bu kavram , halkanın elemanları olan bölünmüş karmaşık sayıları içerir ( karmaşık sayıların aksine ). Bu halkada, a 2 = 1 denkleminin dört çözümü vardır.

Alan , olağan mutlak değer ölçüsüne göre rasyonel sayılar alanının tamamlanmasıdır . Diğer seçenekler metrikleri üzerindeki alanlara kurşun ait p -adic numaralar (herhangi biri için asal sayı p için böylece benzer olan), . Tamamlayarak başka hiçbir aşikar olmayan yollar vardır daha ve tarafından Ostrowski teoremi . Cebirsel kapanışları arasında hala normuna sahip, ancak (aksine ) buna göre tam değildir. tamamlama bölgesinin cebirsel olarak kapalı olduğu ortaya çıktı. Benzer şekilde, alan p -adik karmaşık sayılar olarak adlandırılır .

Alanlar ve bunların sonlu alan uzantıları, yerel alanlar olarak adlandırılır .

Ayrıca bkz. [ Düzenle ]

  • Cebirsel yüzey
  • Karmaşık sayılar kullanan dairesel hareket
  • Karmaşık tabanlı sistem
  • Karmaşık geometri
  • Çift karmaşık sayı
  • Eisenstein tamsayı
  • Euler'in kimliği
  • Geometrik cebir (karmaşık düzlemi 2 boyutlu spinor alt uzayı olarak içerir )
  • Birliğin kökü
  • Birim karmaşık numarası

Notlar [ düzenle ]

  1. ^ "Karmaşık sayılar, gerçekler kadar ve belki daha da fazlası, doğa ile gerçekten dikkate değer bir birlik bulur. Doğa, karmaşık sayı sisteminin kapsamı ve tutarlılığından bizler kadar etkilenmiş gibidir. ve bu rakamlara, dünyasının en küçük ölçeklerinde kesin işlemlerini emanet etti. " - R. Penrose (2016, s. 73) [5]
  2. ^ "Noktaları ile özdeşleşendüzleme karmaşık düzlem denir" ... "Karmaşık sayıların tam geometrik yorumu ve bunlar üzerindeki işlemler ilk olarak C. Wessel'in (1799) çalışmasında ortaya çıktı. Bazen "Argand diyagramı" olarak adlandırılan karmaşık sayılar, 1806 ve 1814'te JR Argand'ın Wessel'in bulgularını büyük ölçüde bağımsız olarak yeniden keşfeden makalelerinin yayınlanmasından sonra kullanıma girdi. - ( Solomentsev 2001 )
  3. ^ Modern gösterimde, Tartaglia çözeltisi iki küp köklerinin toplamı küp genişleyen dayanmaktadır:ile,,, u ve v cinsinden ifade edilebilir , p ve q olarakvesırasıyla. Bu nedenle,. Tümnegatif ( 'savaş irreducibilis) olup, ikinci küp kök birinci kompleks konjügatı olarak kabul edilmelidir.
  4. ^ 1843'te Pierre Laurent Wantzel, 1890'da Vincenzo Mollame, 1891'de Otto Hölder ve 1892'de Adolf Kneser tarafından, denklemin üç gerçek, farklı köke sahip olduğu durumlarda kübik formülde hayali sayıların mutlaka görünmesi gerektiği kanıtlanmıştır. Paolo Ruffini ayrıca 1799'da eksik bir kanıt sağladı. - S. Confalonieri (2015) [21]
  5. ^ Argand (1814) [37] ( s 204 ) karmaşık bir sayının modülünü tanımlar ama adını
    koymaz : "Dans ce qui suit, les accens, indifféremment placés, seront Empés pour indiquer la grandeur absolue des quantités qu ' ils etkileyici; ainsi, si , et étant réels, on devra entender que ou . "
    [Aşağıda, nereye yerleştirilirse yerleştirilsin, aksan işaretleri atandıkları miktarların mutlak boyutunu belirtmek için kullanılacaktır; Bu şekilde, eğer,vegerçek olarak, tek bir anlamak gerekirya da.]Argand [37] ( s 208 ) tanımlar isimler
    modül ve yön faktörü karmaşık sayının: "... pourrait être appelé le modülü de , et représenterait la ihtişam absolue de la ligne , tandis que l'autre facteur, do not le modül est l'unité, tr représenterait la yönü. "
    [... denilebilir modülü arasında ve temsil eder mutlak büyüklüğü hattının (Argand vektörleri gibi karmaşık sayılar temsil ettiği not edin.), Yani, diğer bir faktör [ise ], olan modül birlik [1] olduğu, temsil eder, onun yön.] [37]
  6. ^ Gauss (1831) [29] ( s 96 ) yazıyor
    "Quemadmodum scilicet arithmetica sublimior içinde quaestionibus hactenus pertractatis arası soloları numeros ac venustate şaşaalı, quando kampüs arithmeticae reklam niceller genuina, ita theoremata dolaylarında bakiyelerin biquadratica tunc tantum'udur içinde summa simplicitate versatur reales integros imaginarias extitur, ita ut absque resttione ipsius obiectum kurucu numeri formae a + bi , denotantibus i , pro more quantitatem imaginariam -1 , atque a, b belirsiz omnes numeros reales integros inter - et + . "
    [Elbette, şimdiye kadar sadece gerçek tam sayılar arasındaki problemlerde daha yüksek aritmetiğin araştırılması gibi, iki kadratik kalıntılarla ilgili teoremler, aritmetik alanı hayali niceliklere genişletildiğinde, büyük bir sadelik ve gerçek güzellikte parlarlar. bunun üzerindeki kısıtlamalar, con -1 sanal büyüklüğünü geleneksel olarak ifade eden a + bi - i formundaki sayılar ve a, b değişkenleri ve - arasındaki tüm gerçek tam sayıları bir nesneyi oluşturur.] [29]
  7. ^ Gauss (1831) [29] ( s 96 )
    "Masal sayıları kelime dağarcığı numeros integros complexos, ita quidem, ut reales complexis non oppantur, sed tamquam türleri alt onun contineri censeantur."
    [Bu tür sayıları [yani, a + bi biçimindeki sayıları] "karmaşık tam sayılar" olarak adlandıracağız, böylece gerçek [sayılar], karmaşık [sayıların] tersi olarak değil, sayının bir türü [olarak] kabul edilir. ] tabiri caizse bunların içindedir.] [29]
  8. ^ Gauss (1831) [29] ( s 98 )
    "Productum numeri complexi per numerum ipsi conjunctum utriusque normam vocamus. Pro norma itaque numeri realis, ipsius quadratum habendum est."
    [Bir "norm" olarak karmaşık bir sayının çarpımı olarak adlandırıyoruz [örn. a + ib ] eşleniği [ a - ib ] ile. Bu nedenle bir reel sayının karesi norm olarak kabul edilmelidir.] [29]
  9. ^ Ancak kompleks üstel fonksiyon bir ters fonksiyonu (ve yukarıda tarif edildiği ana değer), dal kesme başka de ele alınabilir ray kökenli kadardır.

Referanslar [ düzenle ]

  1. ^ İlk şüphecilikten nihai kabule kadar "hayali" sayıların tarihinin kapsamlı bir açıklaması için bkz. Bourbaki, Nicolas (1998). "Matematiğin Temelleri § Mantık: Küme teorisi". Matematik Tarihinin Unsurları . Springer. sayfa 18–24.
  2. ^ a b c "Cebir Sembollerinin Kapsamlı Listesi" . Matematik Kasası . 25 Mart 2020 . Erişim tarihi: 12 Ağustos 2020 .
  3. ^ a b c "Karmaşık Sayılar" . www.mathsisfun.com . Erişim tarihi: 12 Ağustos 2020 .
  4. ^ "Karmaşık Sayılar" . Parlak Matematik ve Bilim Wiki . Erişim tarihi: 12 Ağustos 2020 .
  5. ^ Penrose, Roger (2016). Gerçekliğe Giden Yol: Evrenin yasalarına ilişkin eksiksiz bir kılavuz (yeniden basılmıştır). Rasgele ev. s. 72–73. ISBN 978-1-4464-1820-8.
  6. ^ Axler, Sheldon (2010). Üniversite cebiri . Wiley. s. 262 .
  7. ^ Spiegel, MR; Lipschutz, S .; Schiller, JJ; Spellman, D. (14 Nisan 2009). Karmaşık Değişkenler . Schaum's Outline Series (2. baskı). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-161569-3.
  8. ^ Aufmann, Richard N .; Barker, Vernon C .; Ulus, Richard D. (2007). "Bölüm P" . College Cebebra and Trigonometry (6 ed.). Cengage Learning. s. 66. ISBN 978-0-618-82515-8.
  9. ^ ( Bourbaki 1998 , §VIII.1)
  10. ^ Bakınız ( Ahlfors 1979 ).
  11. ^ Brown, James Ward; Churchill, Ruel V. (1996). Karmaşık değişkenler ve uygulamalar (6. baskı). New York: McGraw-Hill. s. 2. ISBN 978-0-07-912147-9. Elektrik mühendisliğinde i yerine j harfi kullanılır .
  12. ^ Pedoe, Dan (1988). Geometri: Kapsamlı bir kurs . Dover. ISBN 978-0-486-65812-4.
  13. ^ a b Weisstein, Eric W. "Karmaşık Sayı" . mathworld.wolfram.com . Erişim tarihi: 12 Ağustos 2020 .
  14. ^ Bakınız ( Apostol 1981 ), sayfa 18.
  15. ^ Kasana, HS (2005). "Bölüm 1" . Karmaşık Değişkenler: Teori ve Uygulamalar (2. baskı). PHI Learning Pvt. Ltd. s. 14. ISBN 978-81-203-2641-5.
  16. ^ Nilsson, James William; Riedel Susan A. (2008). "Bölüm 9" . Elektrik devreleri (8. baskı). Prentice Hall. s. 338. ISBN 978-0-13-198925-2.
  17. ^ Kline, Morris. Matematiksel düşüncenin tarihi, 1. cilt . s. 253.
  18. ^ Katz, Victor J. (2004). "9.1.4". Matematik Tarihi, Kısa Versiyon . Addison-Wesley . ISBN 978-0-321-16193-2.
  19. ^ Hamilton, Wm. (1844). "Kuaterniyonlar teorisiyle bağlantılı yeni bir hayali nicelikler türü hakkında" . İrlanda Kraliyet Akademisi Tutanakları . 2 : 424–434.
  20. ^ Nahin, Paul J. (2007). Hayali Bir Hikaye: −1'in Hikayesi . Princeton University Press . ISBN 978-0-691-12798-9. 12 Ekim 2012 tarihinde orjinalinden arşivlendi . Erişim tarihi: 20 Nisan 2011 .
  21. ^ a b Confalonieri, Sara (2015). Kübik Denklemler için Casus Irreducibilis'ten Kaçınmaya Yönelik Ulaşılamaz Girişim: Gerolamo Cardano'nun De Regula Aliza . Springer. s. 15–16 (not 26). ISBN 978-3658092757.
  22. ^ Descartes, René (1954) [1637]. La Géométrie | René Descartes Geometrisi, ilk baskının bir kopyası ile . Dover Yayınları . ISBN 978-0-486-60068-0. Erişim tarihi: 20 Nisan 2011 .
  23. ^ Euler Leonard (1748). Analysin Infinitorum'da Giriş [ Sonsuzluğun Analizine Giriş ] (Latince). vol. 1. Lucerne, İsviçre: Marc Michel Bosquet & Co. s. 104.
  24. ^ Wessel, Caspar (1799). "Om Directionens analytiske Betegning, et Forsog, bir düzlem ve sphæriske Polygoners Oplosning için anvendt" [ Yönün analitik gösterimi üzerine, özellikle düzlem ve küresel çokgenlerin belirlenmesine uygulanan bir çaba]. Nye Samling af det Kongelige Danske Videnskabernes Selskabs Skrifter [Danimarka Kraliyet Bilim Derneği'nin Yazılarının Yeni Koleksiyonu] (Danca). 5 : 469–518.
  25. ^ Wallis, John (1685). Hem Tarihsel hem de Pratik Bir Cebir İncelemesi… . Londra, İngiltere: Richard Davis için John Playford tarafından basılmıştır. s. 264–273.
  26. ^ Argand (1806). Essai sur une manière de représenter les quantités imaginaires dans les constructions géométriques [ Karmaşık büyüklükleri geometrik yapılarla temsil etme yolu üzerine deneme ] (Fransızca). Paris, Fransa: Madame Veuve Blanc.
  27. ^ Gauss, Carl Friedrich (1799) "Demonstratio nova theorematis omnem functionem cebebraicam rationalem integram unius variabilis in Faces reales primi vel secundi gradus resolvi posse." [Tek bir değişkenin herhangi bir rasyonel integral cebirsel fonksiyonunun birinci veya ikinci derece gerçek faktörlere dönüştürülebileceğine dair teoremin yeni kanıtı.] Ph.D. tez, Helmstedt Üniversitesi, (Almanya). (Latince)
  28. ^ a b Ewald, William B. (1996). Kant'tan Hilbert'e: Matematiğin Temellerinde Bir Kaynak Kitap . 1 . Oxford University Press. s. 313. ISBN 9780198505358. Erişim tarihi: Mart 18 2020 .
  29. ^ a b c d e f g h Gauss, CF (1831). "Theoria residuorum biquadraticorum. Commentatio secunda" [ Biquadratic kalıntılar teorisi. İkinci anı.]. Comments Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores (Latince). 7 : 89–148.
  30. ^ Adrien Quentin Buée (1745–1845): MacTutor
  31. ^ Buée (1806). "Immoire sur les quantités imaginaires" [Hayali nicelikler üzerine anı]. Londra Kraliyet Cemiyeti'nin Felsefi İşlemleri (Fransızca). 96 : 23–88. doi : 10.1098 / rstl.1806.0003 . S2CID 110394048 . 
  32. ^ Mourey, CV (1861). La vraies théore des quantités négatives and des quantités, pretendues imaginaires [ Negatif niceliklerin ve sözde hayali niceliklerin gerçek teorisi ] (Fransızca). Paris, Fransa: Mallet-Bachelier. 1861 1828 orijinal baskısı.
  33. ^ Bakınız:
     • Warren, John (1828). Negatif Miktarların Kare Köklerinin Geometrik Temsili Üzerine Bir İnceleme . Cambridge, İngiltere: Cambridge University Press.
     • Warren, John (1829). "Negatif miktarların kareköklerinin geometrik temsiline karşı ileri sürülen itirazların değerlendirilmesi" . Londra Kraliyet Cemiyeti'nin Felsefi İşlemleri . 119 : 241–254. doi : 10.1098 / rstl.1829.0022 . S2CID 186211638 . 
     • Warren, John (1829). "İndisleri negatif sayıların kareköklerini içeren niceliklerin kuvvetlerinin geometrik temsili üzerine" . Londra Kraliyet Cemiyeti'nin Felsefi İşlemleri . 119 : 339–359. doi : 10.1098 / rstl.1829.0031 . S2CID 125699726 . 
  34. ^ Français, JF (1813). "Nouveaux Principes de géométrie de position, et interprétation géométrique des symboles imaginaires" [Konum geometrisinin yeni ilkeleri ve karmaşık [sayı] sembollerinin geometrik yorumu]. Annales des mathématiques pures et aplike (Fransızca). 4 : 61–71.
  35. ^ Caparrini, Sandro (2000). "Karmaşık Sayıların Geometrik Yorumlanmasına İlişkin Bazı Çalışmaların Ortak Kökeni Üzerine" . Kim Williams'ta (ed.). İki Kültür . Birkhäuser. s. 139. ISBN 978-3-7643-7186-9.
  36. ^ Hardy, GH; Wright, EM (2000) [1938]. Sayılar Teorisine Giriş . OUP Oxford . s. 189 (dördüncü baskı). ISBN 978-0-19-921986-5.
  37. ^ a b c Argand (1814). "Reflexions sur la nouvelle théorie des imaginaires, suives d'une application à la demonstration d'un theorème d'analise" [Yeni karmaşık sayılar teorisi üzerine düşünceler, ardından bir analiz teoreminin ispatına bir uygulama]. Annales de mathématiques pures et aplike (Fransızca). 5 : 197–209.
  38. ^ Jeff Miller (21 Eylül 1999). "MODÜLÜ" . Matematik Kelimelerinden Bazılarının Bilinen En Eski Kullanımları (M) . 3 Ekim 1999 tarihinde orjinalinden arşivlendi.CS1 maint: unfit URL (link)
  39. ^ Cauchy, Augustin Louis (1821). Cours d'analyse de l'École royale polytechnique (Fransızca). vol. 1. Paris, Fransa: L'Imprimerie Royale. s. 183.
  40. ^ Hankel, Hermann (1867). Vorlesungen über die complexen Zahlen und ihre Functionen [ Karmaşık Sayılar ve İşlevleri Hakkında Dersler ] (Almanca). vol. 1. Leipzig, [Almanya]: Leopold Voss. s. 71. S. 71: "Wir werden den Factor ( cos φ + i sin φ) haüfig den Richtungscoefficienten nennen." (Çoğunlukla (cos φ + i sin φ) faktörüne "yön katsayısı" adını vereceğiz.)
  41. ^ Önceki gösterim için bkz. ( Apostol 1981 ), sayfalar 15–16.
  42. ^ Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A. (1964). Formüller, grafikler ve matematiksel tablolar içeren matematiksel işlevler el kitabı . Courier Dover Yayınları. s. 17. ISBN 978-0-486-61272-0. 23 Nisan 2016 tarihinde orjinalinden arşivlendi . Erişim tarihi: 16 Şubat 2016 ., Bölüm 3.7.26, s. 17 Arşivlenen de 10 Eylül 2009 Wayback Machine
  43. ^ Cooke, Roger (2008). Klasik Cebir: doğası, kökenleri ve kullanımları . John Wiley and Sons. s. 59. ISBN 978-0-470-25952-8. 24 Nisan 2016 tarihinde orjinalinden arşivlendi . Erişim tarihi: 16 Şubat 2016 ., Özü: sayfa 59 Arşivlenen 23 Nisan 2016 de Wayback Machine
  44. ^ Bakınız ( Ahlfors 1979 ), sayfa 3.
  45. ^ a b Bkz. ( Apostol 1981 ), sayfalar 15–16.
  46. ^ Bakınız ( Apostol 1981 ), sayfa 25.
  47. ^ ( Bourbaki 1998 , §VIII.1)
  48. ^ Marker, David (1996). "Alanların Model Teorisine Giriş" . Marker, D .; Messmer, M .; Pillay, A. (editörler). Alanların model teorisi . Mantıkta Ders Notları. 5 . Berlin: Springer-Verlag. s. 1–37. ISBN 978-3-540-60741-0. MR  1477154 .
  49. ^ ( Bourbaki 1998 , §VIII.4)
  50. ^ Corry, Leo (2015). Sayıların Kısa Tarihi . Oxford University Press. s. 215–16.
  51. ^ ( Bourbaki 1998 , §VIII.1)
  52. ^ Lester, JA (1994). "Üçgenler I: Şekiller". Aequationes Mathematicae . 52 : 30–54. doi : 10.1007 / BF01818325 . S2CID 121095307 . 
  53. ^ Kalman, Dan (2008a). "Marden Teoreminin Temel Kanıtı" . American Mathematical Monthly . 115 (4): 330–38. doi : 10.1080 / 00029890.2008.11920532 . ISSN 0002-9890 . S2CID 13222698 . 8 Mart 2012 tarihinde orjinalinden arşivlendi . Erişim tarihi: 1 Ocak 2012 .  
  54. ^ Kalman, Dan (2008b). "Matematikteki En Harikulade Teorem" . Online Matematik Dergisi ve Uygulamaları . 8 Şubat 2012 tarihinde kaynağından arşivlendi . Erişim tarihi: 1 Ocak 2012 .
  55. ^ Grant, IS; Phillips, WR (2008). Elektromanyetizma (2 ed.). Manchester Fizik Serisi. ISBN 978-0-471-92712-9.
  56. ^ McCrimmon, Kevin (2004). Ürdün Cebirlerinin Tadı . Universitext. Springer. s. 64. ISBN 0-387-95447-3. MR 2014924

Alıntı yapılan çalışmalar [ düzenle ]

  • Ahlfors, Lars (1979). Karmaşık analiz (3. baskı). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-000657-7.
  • Apostol, Tom (1981). Matematiksel analiz . Addison-Wesley.
  • Solomentsev, ED (2001) [1994], "Karmaşık sayı" , Matematik Ansiklopedisi , EMS Press

Daha fazla okuma [ değiştir ]

  • Penrose Roger (2005). Gerçeğe Giden Yol: Evrenin yasalarına yönelik eksiksiz bir rehber . Alfred A. Knopf. ISBN 978-0-679-45443-4.
  • Derbyshire, John (2006). Bilinmeyen Miktar: Gerçek ve hayali bir cebir tarihi . Joseph Henry Press. ISBN 978-0-309-09657-7.
  • Needham Tristan (1997). Görsel Karmaşık Analiz . Clarendon Press. ISBN 978-0-19-853447-1.

Matematiksel [ değiştir ]

  • Ahlfors, Lars (1979). Karmaşık analiz (3. baskı). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-000657-7.
  • Conway, John B. (1986). Bir Kompleks Değişken I Fonksiyonlar . Springer. ISBN 978-0-387-90328-6.
  • Joshi, Kapil D. (1989). Ayrık Matematiğin Temelleri . New York: John Wiley & Sons . ISBN 978-0-470-21152-6.
  • Pedoe Dan (1988). Geometri: Kapsamlı bir kurs . Dover. ISBN 978-0-486-65812-4.
  • Basın, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). "Bölüm 5.5 Karmaşık Aritmetik" . Sayısal Tarifler: Bilimsel hesaplama sanatı (3. baskı). New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8.
  • Solomentsev, ED (2001) [1994], "Karmaşık sayı" , Matematik Ansiklopedisi , EMS Press

Tarihsel [ düzenle ]

  • Bourbaki Nicolas (1998). "Matematiğin temelleri § mantığı: küme teorisi". Matematik tarihinin unsurları . Springer.
  • Burton, David M. (1995). Matematik Tarihi (3. baskı). New York: McGraw-Hill . ISBN 978-0-07-009465-9.
  • Katz Victor J. (2004). Matematik Tarihi, Kısa Versiyon . Addison-Wesley . ISBN 978-0-321-16193-2.
  • Nahin, Paul J. (1998). Hayali Bir Hikaye: Hikayesi . Princeton University Press. ISBN 978-0-691-02795-1. - Karmaşık sayıların tarihine ve karmaşık analizin başlangıcına hafif bir giriş.
  • Ebbinghaus, HD; Hermes, H .; Hirzebruch, F .; Koecher, M .; Mainzer, K .; Neukirch, J .; Prestel, A .; Remmert, R. (1991). Sayılar (ciltli baskı). Springer. ISBN 978-0-387-97497-2. - Sayı kavramının tarihsel gelişimine gelişmiş bir bakış açısı.